Distanza di due punti
Dato p un punto che appartiene alla retta $x+y=4$ esprimi la distanza dall origine O in funzione di x. Trova il valore di x che minimizza la distanza.
Il primo punto lo ho risolto e viene $PO^2=2x^2-8x+16$ ora non ho idea di come risolvere il secondo punto,come devo fare?
Il primo punto lo ho risolto e viene $PO^2=2x^2-8x+16$ ora non ho idea di come risolvere il secondo punto,come devo fare?
Risposte
L'equazione $bar(PO)^2=2x^2-8x+16$ rappresenta una parabola rivolta verso l'alto. Il minimo allora è nel vertice, la cui ascissa è $x_text(min)=x_V=-b/(2a)=-(-8)/(2*2)=2$.
Visto che questo e un esercizio che sta prima della parabola come posso calcolarlo in un altro modo?
Puoi fare così:
$PO^2=2(x^2-4x+8)=2(x^2-4x+4+4)=2[(x-2)^2+4]$
che, a parte il fattore 2, è la somma di due numeri positivi (o meglio, non-negativi); fra questi, 4 non dipende da x e quindi il tutto è minimo quando l'altro addendo vale zero, cioè quando $x=2$.
Oppure puoi aiutarti con la geometria: PO è minimo quando la retta PO è perpendicolare alla retta data: devi quindi trovare l'intersezione fra quest'ultima e la perpendicolare ad essa passante per O.
$PO^2=2(x^2-4x+8)=2(x^2-4x+4+4)=2[(x-2)^2+4]$
che, a parte il fattore 2, è la somma di due numeri positivi (o meglio, non-negativi); fra questi, 4 non dipende da x e quindi il tutto è minimo quando l'altro addendo vale zero, cioè quando $x=2$.
Oppure puoi aiutarti con la geometria: PO è minimo quando la retta PO è perpendicolare alla retta data: devi quindi trovare l'intersezione fra quest'ultima e la perpendicolare ad essa passante per O.
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