\(\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y} \)
Come si dimostra che \(\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y} \) e perchè vale sono per \(\displaystyle x,y \in \mathbb{R}^{+} \) ?
Risposte
"raffamaiden":Proprietà delle potenze, tenendo presente che $sqrta=a^(1/2)$
Come si dimostra che \(\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y} \)
"raffamiden":Beh, se uno dei due fosse negativo il secondo membro non avrebbe senso
perchè vale sono per \(\displaystyle x,y \in \mathbb{R}^{+} \) ?
"Gi8":
Beh, se uno dei due fosse negativo il secondo membro non avrebbe senso
Non avrebbe senso in capo reale, no? Non posso considerare x e y in campo complesso?
\(\displaystyle \sqrt{(-8)(2)} = \sqrt{-16} = \sqrt{16 i^2} = 4i \)
\(\displaystyle \sqrt{-8}\sqrt{2} = \sqrt{8 i^2} \sqrt{2} = i \sqrt{8}\sqrt{2} = i \sqrt{8*2} = 4i \)
Certo, non ha senso in $RR$. Pensavo che ti riferissi a quello
ok. Quindi la proprietà \(\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y} \) con \(\displaystyle x,y \in \mathbb{C} \) è ovunque definita.
Nella seguente serie di uguaglianze, dov'è l'errore?
\(\displaystyle 1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{i^2 i^2} = \sqrt{i^2} \sqrt{i^2} = i*i = -1 \)
Nella seguente serie di uguaglianze, dov'è l'errore?
\(\displaystyle 1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{i^2 i^2} = \sqrt{i^2} \sqrt{i^2} = i*i = -1 \)
"raffamaiden":No, non è vero. Il tuo esempio lo dimostra.
ok. Quindi la proprietà \(\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y} \) con \(\displaystyle x,y \in \mathbb{C} \) è ovunque definita.
Devono essere $x,y in RR^+$
"Gi8":No, non è vero. Il tuo esempio lo dimostra.
[quote="raffamaiden"]ok. Quindi la proprietà \(\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y} \) con \(\displaystyle x,y \in \mathbb{C} \) è ovunque definita.
Devono essere $x,y in RR^+$[/quote]
Credo di fare confusione. Il calcolo del terzo post me lo hai dato per buono, e lì avevo considerato \(\displaystyle -8,2 \in \mathbb{C} \) e comunque \(\displaystyle -8<0 \Rightarrow -8 \notin \mathbb{R}^{+} \)
P.S. è corretto dire che \(\displaystyle i^2 \in \mathbb{R} \) ? Fà -1 no?
Pardon, prima non avevo letto l'intero post.
Nemmeno nei complessi si può usare quella formula
Il motivo è che potrebbero sorgere uguaglianze non vere, come l'ultima che hai scritto
Leggi qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A0 ... Avvertenza
Ps: dato che $i^2 = -1$, e dato che $-1 in RR$ direi di sì
Nemmeno nei complessi si può usare quella formula
Il motivo è che potrebbero sorgere uguaglianze non vere, come l'ultima che hai scritto
Leggi qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A0 ... Avvertenza
Ps: dato che $i^2 = -1$, e dato che $-1 in RR$ direi di sì
"wikipedia":
"La regola
\( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \)
è valida solo per valori di a e b reali e non negativi"
Assumendo vera questa affermazione, la domanda è: perchè il calcolo del terzo post mi è venuto corretto? Infatti partendo da
\(\displaystyle \sqrt{(-8)(2)} = \sqrt{-8}\sqrt{2} \) ho ottenuto che entrambi i membri fanno \(\displaystyle 4i \), quindi \(\displaystyle \sqrt{(-8)(2)} = \sqrt{-8}\sqrt{2} \) è una identità vera. Ma \(\displaystyle -8 \) non è positivo, quindi non è vero che quella proprietà vale solo per i numeri reali positivi. No? Mi sa che sto facendo un po' di confusione, o non ho compreso bene.
Secondo te per quali numeri varrebbe allora?
Se il nostro insieme di riferimento fosse $RR$ non andrebbe bene perchè si avrebbe $sqrt(-1*1)=sqrt(-1)*sqrt1$
che non va bene perchè in $RR$ non esiste $sqrt(-1)$
Proviamo con $CC$: l'esempio scritto da te prima porta ad un assurdo, quindi non vale nemmeno lì
Per carità, ci saranno degli esempi in cui in $CC$ si arriva all'identità (basta prendere due numeri reali discordi),
però ciò non vale per tutte le coppie di numeri complessi.
che non va bene perchè in $RR$ non esiste $sqrt(-1)$
Proviamo con $CC$: l'esempio scritto da te prima porta ad un assurdo, quindi non vale nemmeno lì
Per carità, ci saranno degli esempi in cui in $CC$ si arriva all'identità (basta prendere due numeri reali discordi),
però ciò non vale per tutte le coppie di numeri complessi.
"Gi8":
Se il nostro insieme di riferimento fosse $RR$ non andrebbe bene perchè si avrebbe $sqrt(-1*1)=sqrt(-1)*sqrt1$
che non va bene perchè in $RR$ non esiste $sqrt(-1)$
Proviamo con $CC$: l'esempio scritto da te prima porta ad un assurdo, quindi non vale nemmeno lì
Per carità, ci saranno degli esempi in cui in $CC$ si arriva all'identità (basta prendere due numeri reali discordi),
però ciò non vale per tutte le coppie di numeri complessi.
E' quello che vorrei capire
Per la coppia di numeri complessi (-8),(2) la proprietà sembra valere, infatti
\(\displaystyle \sqrt{(-8)(2)} = \sqrt{-16} = \sqrt{16 i^2} = (\sqrt{16})i = i \sqrt{8*2} = i \sqrt{8}\sqrt{2} = \sqrt{8 i^2} \sqrt{2} = \sqrt{-8}\sqrt{2} \)
Ma per (-1),(-1) non sembra valere, infatti
\(\displaystyle \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1 \)
\(\displaystyle \sqrt{-1}\sqrt{-1} = i*i = i^2 = -1 \)
e quindi non abbiamo l'identità
Per cui la domanda è: quali sono le coppie di numeri complessi per i quali la proprietà vale e quali quelle per cui la proprietà non vale? (appurato che wikipedia sbaglia quando dice che vale solo per i reali).
Credo di non aver capito bene questo concetto, ve ne sarei grato se qualcuno me lo chiarisse. Sono entrato in confusione.
Il più grande insieme $A$ tale che $sqrt(ab)=sqrt(a)*sqrt(b)in A$ $AA a,b in A$ è $RR^+$
"raffamaiden":
per (-1),(-1) non sembra valere, infatti
\(\displaystyle \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1 \)
\(\displaystyle \sqrt{-1}\sqrt{-1} = i*i = i^2 = -1 \)
Credo che tu stia utilizzando i numeri complessi con le sole proprietà dei reali, nei complessi la radice quadrata NON è una funzione e quindi $sqrt1=+-1$ e $sqrt(-1)=+-i$
Nella seguente serie di uguaglianze, dov'è l'errore?
\(\displaystyle 1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{i^2 i^2} = \sqrt{i^2} \sqrt{i^2} = i*i = -1 \)[/quote]
Cavoli! Mi sa che in questa serie di uguaglianze dovrebbero essere inserire via via delle condizioni (o si sono perse delle distinzioni). L'errore potrebbe nascere dal fatto che si prosegue nella catena di uguaglianze ignorando appunto le condizioni da rispettare. Chiedo anch'io se:
1) La prima uguaglianza $1 = sqrt(1)$ è vera? O dovrebbe scriversi $ \pm 1 = sqrt(1) $ ?
2) $ sqrt(i^2) = \pm i$, quindi, per rispettare la condizione iniziale di ottenere un risultato positivo, dovrei prendere una volta $ sqrt(i^2)=i $ e una volta $ sqrt(i^2)=-i $ ?
\(\displaystyle 1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{i^2 i^2} = \sqrt{i^2} \sqrt{i^2} = i*i = -1 \)[/quote]
Cavoli! Mi sa che in questa serie di uguaglianze dovrebbero essere inserire via via delle condizioni (o si sono perse delle distinzioni). L'errore potrebbe nascere dal fatto che si prosegue nella catena di uguaglianze ignorando appunto le condizioni da rispettare. Chiedo anch'io se:
1) La prima uguaglianza $1 = sqrt(1)$ è vera? O dovrebbe scriversi $ \pm 1 = sqrt(1) $ ?
2) $ sqrt(i^2) = \pm i$, quindi, per rispettare la condizione iniziale di ottenere un risultato positivo, dovrei prendere una volta $ sqrt(i^2)=i $ e una volta $ sqrt(i^2)=-i $ ?
Te l'ho detto sopra, l'uguaglianza $sqrt1=1$ è vera in $RR$, ma è falsa in $CC$ dove diventa $sqrt1=+-1$, mentre $sqrt(-1)=i$ è sempre falsa, perché lavorando in $CC$ devi usare $sqrt(-1)=+-i$
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