Disequazioni trigonometriche ed esponenziali
Salve, sto preparando analisi e studiando gli intervalli di crescenza e decrescenza delle funzioni, mi trovo di fronte ad alcune funzioni trigonometriche. Sono funzioni piuttosto semplici da risolvere ma, nonostante abbia passato un paio di mesi a fare esercizi di "pre-corso" in particolare su queste (che ormai padroneggiavo alla grande), con grande sorpresa non ricordo più come si risolvono! 
ho dato un'occhiata veloce al materiale del liceo, ma niente, come se avessi dimenticato tutto!
Vi posto le disequazioni, se magari mi date una mano... il fatto è che è anche un po' fastidioso perdere tempo (relativamente visto che non è mai tempo perso) con queste cose quando ho un programma da rispettare per preparare l'esame!
1) $2cos(2x) - 2sin(2x) >= 0$
3) $(cosx(1+2sinx) - sinx(4sinx cosx))/(1+2sin^2 x)$ >= 0
(se non ho sbagliato qualcosa, la seconda è la derivata di $(sinx)/(1+2sin^2 x)$
ho dato un'occhiata veloce al materiale del liceo, ma niente, come se avessi dimenticato tutto!Vi posto le disequazioni, se magari mi date una mano... il fatto è che è anche un po' fastidioso perdere tempo (relativamente visto che non è mai tempo perso) con queste cose quando ho un programma da rispettare per preparare l'esame!
1) $2cos(2x) - 2sin(2x) >= 0$
3) $(cosx(1+2sinx) - sinx(4sinx cosx))/(1+2sin^2 x)$ >= 0
(se non ho sbagliato qualcosa, la seconda è la derivata di $(sinx)/(1+2sin^2 x)$
Risposte
La prima disequazione $2cos(2x) - 2sin(2x) >= 0$ è una lineare, quindi abbastanza facilmente risolvibile con l'angolo aggiunto:
prima la trasformi in
$2sqrt2*(sqrt2/2*cos(2x) - sqrt2/2*sin(2x)) >= 0$ da cui
$2sqrt2*(sin (pi/4) *cos(2x) - cos (pi/4)*sin(2x)) >= 0$
$2sqrt2*sin (pi/4 -2x)>=0$, il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, perciò
$0+2k pi<=pi/4 -2x<= pi + 2k pi$ sottraggo ai tre membri $pi/4$
$- pi/4 +2k pi<= -2x<= 3/4 pi + 2k pi$ cambiando il segno cambia anche il verso della disuguaglianza
$ - 3/4 pi + 2k pi <=2x<=pi/4 +2k pi$ infine divido tutto per 2
$ - 3/8 pi + k pi <=x<=pi/8 +k pi$
Qualche problema di numerazione perché si passa dalla prima alla terza disequazione il cui testo è sbagliato perché la derivata della funzione che proponi è
$(cosx(1+2sin^2x) - sinx(4sinx cosx))/(1+2sin^2 x)^2 >= 0$, che, dopo un po' di calcoli, diventa
$(cos x (1-2 sin^2 x))/(1+2 sin^2 x)^2$, il denominatore è sempre positivo, quindi basta studiare il segno del numeratore, vedi se riesci a impostarla tu.
prima la trasformi in
$2sqrt2*(sqrt2/2*cos(2x) - sqrt2/2*sin(2x)) >= 0$ da cui
$2sqrt2*(sin (pi/4) *cos(2x) - cos (pi/4)*sin(2x)) >= 0$
$2sqrt2*sin (pi/4 -2x)>=0$, il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, perciò
$0+2k pi<=pi/4 -2x<= pi + 2k pi$ sottraggo ai tre membri $pi/4$
$- pi/4 +2k pi<= -2x<= 3/4 pi + 2k pi$ cambiando il segno cambia anche il verso della disuguaglianza
$ - 3/4 pi + 2k pi <=2x<=pi/4 +2k pi$ infine divido tutto per 2
$ - 3/8 pi + k pi <=x<=pi/8 +k pi$
Qualche problema di numerazione perché si passa dalla prima alla terza disequazione il cui testo è sbagliato perché la derivata della funzione che proponi è
$(cosx(1+2sin^2x) - sinx(4sinx cosx))/(1+2sin^2 x)^2 >= 0$, che, dopo un po' di calcoli, diventa
$(cos x (1-2 sin^2 x))/(1+2 sin^2 x)^2$, il denominatore è sempre positivo, quindi basta studiare il segno del numeratore, vedi se riesci a impostarla tu.
Grazie mille per l'aiuto. Ora torno a casa e me le guardo!
ps: l'errore di numerazione era perché ne stavo per postare un altra che all'improvviso mi è venuto in mente come risolvere; il quadrato al seno l'avevo dimenticato per distrazione/esaurimento XD)
grazie ancora
ps: l'errore di numerazione era perché ne stavo per postare un altra che all'improvviso mi è venuto in mente come risolvere; il quadrato al seno l'avevo dimenticato per distrazione/esaurimento XD)
grazie ancora
l'avevo capito, sono reduce dagli scrutini e avevo voglia di scherzare un po'.
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