Disequazioni logaritmiche...

[kioccolatino90]

Ciao come sempre ho piccoli problemi anzi grandi.... mi sono trovato ad affrontare questi esercizi ho cercato di risolverli e mi sono trovato dei valori e ora vi faccio vedere il procedimento cosi vediamo se ho sbagliato o no (sicuramente si)...
traccia:
-1).

$(\log_(2)(x-1))/(\log_(1/2)(x-1))>0

-2).

$\log_(1/2)[log(x+1)]>0$

La prima l'ho svolta così:
come prima cosa ho usato la legge per il cambiamento di base al denominatore che ho scelto essere $2$ e mi esce:

$(\log_(2)(x-1))/((\log_(2)(x-1))/(\log_(2)(1/2)))>0$ ; e quindi risulta essere $(\log_(2)(x-1))/(-\log_(2)(x-1))>0$ ; da cui portandolo al numeratore a condizione di cambiare il segno risulta: $\log_(2)(x-1)+\log_(2)(x-1)>0$ ; poi dalla terza proprietà dei logaritmi cioè $\log_(a)b+\log_(a)c=\log_a(b*c)$, è uguale a:
$\log_(2)(x-1)*(x-1)>0$
$\log_(2)(x^2-2x+1)>0$ $rArr$ ${(x^2-2x+1>0),(x^2-2x+1>2^0):}$; ${(x>1),(x>0uux<2):}$

Poi la seconda, cioè $\log_(1/2)[log(x+1)]>0$ l'ho svolta così:
per svolgerla ho considerato l'argomento maggiore di zero e ho messo a sistema:

${(\log(x+1)>0),(\log(x+1)>(1/2)^0):};

per la prima disequazione cioè $\log(x+1)>0$ ho considerato il sistema seguente:

${((x+1)>0),((x+1)>(10)^0):}

per la seconda disequazione ovvero $\log(x+1)>(1/2)^0$ invece il sistema:

$\log(x+1)>1 rArr {((x+1)>0),((x+1)>(10)^1):}

e quindi:
${(x>-1),(x>0):}
. . . . .$rArr$ ${(x>-1),(x>0),(x>+9):}$ $rArr$ $-1+9$
${(x>-1),(x>+9):}

giusto si trova????

[blackbishop13]

Domy scusami, sarò franco: è tutto sbagliato. Di buono c'è che sai bene le formule.

Ascolta il mio consiglio prima di trattare le logaritmiche fai vedere come risolveresti questa disequazione:
$x/(-x)>0$. da qui capirai certi errori nella prima.

Per la seconda, prova a dirci come faresti questa: $log_(1/2)(x+2)>0$
poi passiamo agli esercizi che hai postato.

[Nicole931]

in ogni caso, per la prima ti do un suggerimento: non pensare ad applicare formule (cambio di base) ma prima poni la condizione di esistenza sugli argomenti dei logaritmi e poi passa a studiare il segno di numeratore e denominatore, come si fa in una qualunque disequazione fratta

[blackbishop13]

"Nicole93":in ogni caso, per la prima ti do un suggerimento: non pensare ad applicare formule (cambio di base) ma prima poni la condizione di esistenza sugli argomenti dei logaritmi e poi passa a studiare il segno di numeratore e denominatore, come si fa in una qualunque disequazione fratta

non è il metodo migliore, quella disequazione è veramente molto più semplice, è che quando non si ha confidenza con l'argomento si tende subito ad applicare un metodo standard, che magari però porta errori evitabili.

in una equazine del tipo $x/(-x)>0$ si pone la condizione di esistenza $x!=0$ come hai detto tu, ma poi si semplifica!!
e viene$-1>0$ mai vero. Quindi per $x=0$ è indeterminata, per $x!=0$ è impossibile.

Domy90 alla fine te l'ho risolta io per far vedere il metodo a Nicole93, ma se ti va di fare gli esercizi diccelo.

[Nicole931]

veramente, ti assicuro che la confidenza con l'argomento non mi manca
indubbiamente però questo è un caso molto particolare (non avevo notato che l'argomento dei due logaritmi è lo stesso)
io comunque ho suggerito il metodo generale perchè il procedimento utilizzato da Domy90 è sicuramente da evitare, e dimostrava che non aveva molto chiaro il procedimento risolutivo standard
è comunque sempre opportuno pretendere dagli studenti che pongano sempre l'argomento del log >0, anche in casi banali come questo, perchè così, quando si troveranno davanti casi qualunque, non rischieranno di scordarselo

[blackbishop13]

"Nicole93":veramente, ti assicuro che la confidenza con l'argomento non mi manca

infatti mi riferivo alla confidenza di Domy90.

"Nicole93":non avevo notato che l'argomento dei due logaritmi è lo stesso

comunque è questo che intendo con "applicare un metodo standard senza osservare".

"Nicole93":
è comunque sempre opportuno pretendere dagli studenti che pongano sempre l'argomento del log >0, anche in casi banali come questo, perchè così, quando si troveranno davanti casi qualunque, non rischieranno di scordarselo

non è opportuno, è assolutamente necessario,in ogni caso, pena l'incorrettezza dell'esercizio!Se si considera un logaritmo senza pensare alle condizioni sull'argomento è perchè non si è capito molto.

"per gli studenti"?scusa se lo chiedo, ma il tuo nickname lo lascia supporre, però parli come un' insegnante: sei del 1993?

[Nicole931]

no, il mio nickname non ha niente a che vedere col mio anno di nascita (ahimè!)
e sì, sono un'insegnante, e se non avevo notato la particolarità dell'esercizio è perchè tendo sempre a dare regole generali a chi chiede consigli piuttosto che risolvere l'esercizio particolare che viene richiesto

[kioccolatino90]

Ciao, come avevo detto è tutta sbagliata...non avevo dubbi!!! Però speravo tanto che fosse buona... Comunque nella prima ho sbagliato a non considerare l'argomento $>0$? cosa che ho fatto nella seconda...
Invece nella prima l'ho sbagliata solo perchè non ho semplificato???

Quindi semplificando $(\log_(2)(x-1))/(-\log_(2)(x-1))>0$ veniva $1/-1>0$ moltiplico numeratore e denominatore per $-1$ e viene $-1>0$ $rArr$ mai

l'esercizo $\log_(1/2)(x+2)>0$ di blackbishop13 che ha postato lo risolverei:
come prima cosa direi che il $\log_(1/2)x$ (quando la base è compresa 0 e 1) è maggiore di 0 quando per $0
${((x+2)>0),(0<(x+2)<1):}$ ; per la prima $x>-2$; per la seconda cosidero il sistema ${((x+2)<0),((x+2)<1):}$ $rArr$ ${(x<-2),(x<-1):}$ quindi le soluzioni sono 3: ${(x>-2),(x<-2),(x<-1):}$... giusto????
Si si mi va di fare esercizi, per questo posto in continuazione...così supero l'esame...

[blackbishop13]

Prima di tutto attento a scrivere con il MathML: come puoi notare riguardando i tuoi messaggi, se scrivi x>-2 viene $x>-2$, invece devi scrivere
x>(-2) e viene $x>(-2)$.

"Domy90":semplificando $(\log_(2)(x-1))/(-\log_(2)(x-1))>0$ veniva $1/-1>0$ moltiplico numeratore e denominatore per $-1$ e viene $-1>0$ $rArr$ mai

attento: tutte le volte che hai una disequazione devi sempre porre il denominatore diverso da $0$, e in generale devi sempre porre tutte le condizioni di esistenza necessarie, ovvero $log_(1/2)(x+1)$ deve esistere, quindi le condizioni sono $x>(-1)$$^^$$x!=0$ la prima per l'esistenza del log, la seconda per il denominatore diverso da $0$.
a questo punto ottieni $1/(-1)>0$ ovvero $-1>0$ mai.

"Domy90":l'esercizo $\log_(1/2)(x+2)>0$
come prima cosa direi che il $\log_(1/2)x$ (quando la base è compresa 0 e 1) è maggiore di 0 quando per $0
${((x+2)>0),(0<(x+2)<1):}$ ; per la prima $x>-2$; per la seconda cosidero il sistema ${((x+2)<0),((x+2)<1):}$ $rArr$ ${(x<-2),(x<-1):}$ quindi le soluzioni sono 3: ${(x>-2),(x<-2),(x<-1):}$

Va meglio, però non va ancora bene.
prima cosa, decisamente importante: non interpreti nel modo giusto un sistema. cosa vuol dire ${(x>(-2)),(x<-2),(x<-1):}$
vuol dire che devi trovare le $x$ che soddisfano tutte e tre le condizioni! non sono tre soluzioni diverse come dici tu, attenzione.
ma comunque questo sistema a cui arrivi è sbagliato. controlla meglio, hai invertito qualcosa passando da $0<(x+2)<1$ a ${((x+2)<0),((x+2)<1):}$ non ti pare?

[misanino]

Caro Domy90, mi permetto di darti un consiglio.
Direi che le idee la hai talmente confuse che fai un sacco di errori.
Io penso che tu debba aprire un libro e studiare la teoria.
Altrimenti inevitabilmente qualche errore lo commetterai sempre.
Devi studiare:
disequazioni fratte, sistemi di disequazioni, condizioni di esistenza...
Credimi, è un po' troppo.
Ti conviene riordinare tutte le idee partendo dall'inizio.
La voglia non ti manca di certo perchè hai dimostrato che le formule le conosci. Solo ti manca proprio l'idea di come si possa procedere.
E' solo un consiglio comunque.
Poi fai come vuoi.
Ciao

[kioccolatino90]

Grazie per la correzione infatti avevo visto ma non sono riuscito a capire come correggerlo...
Comunque hai trasformato il $-\log_(2)(x-1)$ che stà al denominatore in $\log_(1/2)(x+1)$ giusto?
Hai imposto l'argomento maggiore $>0$ e essendo il denominatore pure $!=0$ e questo per le conzioni
$\log_(1/2)(x+1) >0; !=0$ $rArr$ ${(x+1>0,if x>(-1)),(x+1!=(1/2)^0,if x!=0):}$
... ok ci sono ho capito come dovevo fare.....

Poi il fatto del sistema a parte che è sbagliato le $x$ che soddisfano tutte le condizioni è $x>0$ (se fosse stato giusto il sistema).
Perchè io nel fare ${((x+2)>0),(0<(x+2)<1):}$ dovevo fare: ${(x>(-2),if x>(-2)),((x+2)>0,if x>(-2)),((x+2)<1,if x<-1):}

Le $x$ sono: $-2

Misanino grazie per il suggerimento ma attorno a me e al computer già ci sono libri di testo con teoria ed esercizi in cui non ci ho capito quasi niente per questo mi sono iscritto qua, per farmi dare una mano...si hai ragione mi manca come procedere...

[blackbishop13]

Ok va bene, mi pare che hai capito abbastanza.
Dai prova a risolvere l'esercizio 2, e posta per bene i passaggi. Una cosa: sul forum cerca di essere un po' più ordinato, non per ragioni estetiche o di regolamento, ma perchè come fai adesso a volte ci sono passaggi un po' "incasinati". Occhio poi, mi pare che hai usato il simoblo & invece del dollaro in una formula.

Dai aspetto questo $log_(1/2)[log(x+1)]>0$

[Nicole931]

vedo di spiegarti in modo un po' più chiaro il primo esercizio, che, come avrai capito, è un caso del tutto particolare
dunque, per prima cosa , poni l'argomento di ciascuno dei due log (che comunque è lo stesso) >0
poi però, andando a confrontare i segni di numeratore e denominatore, che, perchè la disequazione sia verificata, devono essere concordi, vedi che hai: $log_2$ di un certo numero e $log_(1/2)$ dello stesso numero
questo vuol dire che : nel primo caso il 2 è stato elevato ad un certo esponente (il log, appunto) nel secondo caso, poichè hai ottenuto lo stesso numero (x-1) , ma la base è l'inverso della precedente, vuol dire che quell'esponente era negativo
esempio : $log_2(4)=2 ; log_(1/2)4=-2$
allora numeratore e denominatore hanno segni opposti, quindi la frazione è sicuramente sempre negativa, e quella disequazione quindi non ha soluzioni

spero che adesso almeno il primo esercizio sia chiaro, e comunque mi associo a Misanino nel consigliarti di rivedere bene la teoria delle disequazioni

ho letto troppo tardi il tuo post; se allora ti è tutto chiaro meglio così, vedrò di esserti più utile in un altro caso

[kioccolatino90]

Ciao a tutti....
ho risolto il secondo esercizio... e cioè: $\log_(1/2)[log(x+1)]>0$ le $x$ soluzione sono $x>0$...
Allora per prima cosa pongo l'esistenza del logaritmo ovvero $\log(x+1)$ e quindi ${(x>(-1)),(x!=0):}$
Poi faccio un sistema dove e pongo l'argomento maggiore di 0, e quando il logaritmo, avente base compresa tra 0 e 1, è maggiore di 0, quindi: ${(\log(x+1)>0),(0<\log(x+1)<1):}$ e considero per la prima disequazione il sistema: ${((x+1)>0),((x+1)>(10)^0):}$ e per la seconda il sistema ${(\log(x+1)>0),(\log(x+1)<1):}$

dunque mi trovo a risolvere due sistemi di disequazioni però risolvendo io secondo sistema sarebbe come risolvere il primo e quindi lo elimino, e considero solo il sistema: ${((x+1)>0,if x>(-1)),((x+1)>(10)^0, if x>0):}$ e quindi le $x$ sono $x>0$

[@melia]

Ti sei perso $log(x+1)<1$ che non compare nel primo sistema e che, oltre alla condizine di esistenza del logaritmo che hai già considerato, ha anche la condizione $x+1<(10)^1$, quindi $x<9$
Quindi $0

Cita

Segnala

[kioccolatino90]

Quindi dovevo solo eliminare la prima disequazione del secondo sistema l'altra la dovevo tenere....?

[@melia]

Certo perché le sue condizioni non comparivano nè in modo implicito, nè esplicito nel primo sistema.

[kioccolatino90]

Ma quindi dovevo dare un'altra condizione di esistenza al secondo sistema visto che non era nè in forma esplicita nè in forma implicita?

[@melia]

Le condizioni di esistenza comparivano già nel primo sistema, come la prima disequazione compariva in modo implicito già nel primo sistema, piuttosto è stato inutile scomporre il problema in 2 sistemi, se ne poteva fare uno solo con 4 disequazioni, di cui 3 significative, mentre le due centrali sono due modo diversi di dire la stessa cosa e quindi diventano una sola disequazione.

[kioccolatino90]

Si si lo so è solo che il codice ASCIIMathML non mi fa fare sistemi di sistemi...
Tu con le quattro disquazioni intendi il sistema : $\{((x+1)>0),((x+1)>(10)^0),(\log(x+1)>0),(\log(x+1)<1):}$ di cui la prima la seconda e la quarta significative?
E le due centrali intendi appunto quelle che ho scritto io?

[@melia]

Esattamente.