Disequazioni letterali fratte
Mi potreste dire come si risolve questa disequazione letterale fratta?
$ x+1 / x - 2 - 2a < 0 $
Grazie 1000, in particolare al moderatore per il benvenuto
$ x+1 / x - 2 - 2a < 0 $
Grazie 1000, in particolare al moderatore per il benvenuto
Risposte
Ciao, Piero, benvenuto.
Per prima cosa ti chiedo, cortesemente, di correggere il titolo. come potrai osservare gli altri titoli sono tutti in minuscolo. Per correggere basta selezionare il tasto modifica posto in alto a destra e, appunto, modificare.
Quello che chiedi è un argomento molto vasto nel suo complesso, forse ti serve solo una piccola parte. Dovresti essere più preciso, magari sarebbe utile iniziare con un esempio, prova a postarne uno.
Per prima cosa ti chiedo, cortesemente, di correggere il titolo. come potrai osservare gli altri titoli sono tutti in minuscolo. Per correggere basta selezionare il tasto modifica posto in alto a destra e, appunto, modificare.
Quello che chiedi è un argomento molto vasto nel suo complesso, forse ti serve solo una piccola parte. Dovresti essere più preciso, magari sarebbe utile iniziare con un esempio, prova a postarne uno.
"PieroPadela":
Mi potreste dire come si risolve questa disequazione letterale fratta?
$ x+1 / x - 2 - 2a < 0 $
Grazie 1000, in particolare al moderatore per il benvenuto
allora...
prima di tutto devi semplificare il tutto... e diventa:
$ (1-2ax)/x < 0 $
dopo di che guardi il numeratore, ponendolo >0...
$1-2ax>0 $
risolvi la disequazione all'inizio senza pensare ad $a$ ed hai:
$ x < 1/(2a)$
ora guardiamo la variabile $a$...so che per la regola di monotonia se moltiplico o divido per un numero positivo non cambia niente mentre se lo faccio per un numero negativo il segno si inverte...
sappiamo anche che la variabile $a$ può assumere qualsiasi valore... ma, i valori che "contano" in questo caso sono $a>0$ , $a<0$, $a=0$
ora vediamo che succede al se $a>0$:
$x< 1/(2a)$ quindi non cambia nulla
ora vediamo se $a<0$:
$x > 1/(2a)$ quindi si inverte il segno perchè divido da entrambe le parti per un numero negativo
per vedere invece $a=0$ devo fare un passo indietro e ritornare alla forma $2ax<1$, e si vede subito che è vero per ogni x appartenente a $R$ perchè è sempre vero che $0<1$
ora guardiamo il denominatore, qui è facile, lo poniamo $x>0$ e lo lasciamo sempre così
andiamo a vedere ora il segno generale della disequazione... allora sotto abbiamo sempre un valore positivo sopra però possiamo avere un valore negativo quando $a>0$
quindi se $a>0$ il segno generale cambia perchè abbiamo negativo/positivo, se $a<0$ il segno generale rimane invariato perchè abbiamo positivo/positivo, se $a=0$ allora il segno cambia...
ora facciamo i grafici, non lo faccio qui perchè non so farlo, però bisogna farli, ti do i risultati:
$a>0$ $→$ $x<0Vx>1/(2a)$
$a<0$ $→$ $x<1/(2a)Vx>0$
$a=0$ $→$ $x>0$
spero di non aver fatto errori...
p.s.
come non detto, ho sbagliato a semplificarla...come ha detto l'utente sotto di me...quindi in pratica l'ho cannata tutta XD...
Riguarda la semplificazione. Poi se $a=0$, ci sarebbe una divisione per $0$.
boh...ho provato più volte, ma il numeratore $ x^2 +1 - 2x -2ax$ non riesco a scomporlo a fattori comuni, secondo me non è scomponibile, quindi dovrebbe essere risolto con il metodo delle disequazioni di secondo grado, che non ho ancora fatto...quindi non posso aiutarti XD
Concordo con duepiudueugualecinque, e aggiungo che anche conoscendo le disequazioni di secondo grado l'esercizio non è facile. PieroPadela, sei sicuro che il testo sia giusto?
Ho l'impressione che il -2 doveva essere un -2x.
ho provato a farla...sono sicuro di averla sbagliata, però per curiosità posso sapere se uno dei risultati è :
se $a>0$ → $1+sqrt(a) < x < 1+2a+sqrt(a)
se $a>0$ → $1+sqrt(a) < x < 1+2a+sqrt(a)
No. La disequazione ottenuta è $x^2-2x(a+1)+1<0$
e la corrispondente equazione ha come soluzioni $x=a+1+-sqrt(a^2+2a)$
Partendo di qui, non trovi certo la tua soluzione.
e la corrispondente equazione ha come soluzioni $x=a+1+-sqrt(a^2+2a)$
Partendo di qui, non trovi certo la tua soluzione.
"giammaria":
No. La disequazione ottenuta è $x^2-2x(a+1)+1<0$
e la corrispondente equazione ha come soluzioni $x=a+1+-sqrt(a^2+2a)$
Partendo di qui, non trovi certo la tua soluzione.
io lasciato il $2$ all'interno delle parentesi quindi il mio $b$ era $-(2 + 2a)$
poi il risultato di $a>0$ (dovrebbero essere 2 soluzioni positive) l'ho semplificato al massimo ed ho ottenuto quei due numeri, con una disequazione fra i due nueri ho trovato il maggiore e il minore...ho messo i capisaldi nel grafico con in più lo $0$ del denominatore ed ho ottenuto quel risultato...ma comunque ho appena iniziato a studiare la teoria delle equazioni di 2° grado quindi era scontato che l'avessi cannata, però speravo fosse giusta XD
Lasciando il 2 all'interno della parentesi non usi la formula ridotta e quindi fai qualche calcolo in più; il risultato finale però è lo stesso ed è già semplificato al massimo: se hai ottenuto quei due numeri, devi aver fatto qualche errore. Quanto a chiedersi qual è il minore, non ci sono dubbi: in ogni caso, se hai un calcolo del tipo $p+-sqrt q$, il minore è quello col meno (bè, ammesso di avere numeri reali, altrimenti non ha senso parlare di minore). Forse è meglio che tu posti tutti i tuoi calcoli, così vediamo dove e come vanno corretti.
"giammaria":
Lasciando il 2 all'interno della parentesi non usi la formula ridotta e quindi fai qualche calcolo in più; il risultato finale però è lo stesso ed è già semplificato al massimo: se hai ottenuto quei due numeri, devi aver fatto qualche errore. Quanto a chiedersi qual è il minore, non ci sono dubbi: in ogni caso, se hai un calcolo del tipo $p+-sqrt q$, il minore è quello col meno (bè, ammesso di avere numeri reali, altrimenti non ha senso parlare di minore). Forse è meglio che tu posti tutti i tuoi calcoli, così vediamo dove e come vanno corretti.
allora sono partito da questa disequazione:
$[x^2 -(2+2a)x +1]/x < 0
dopo di che mi sono accorto che il numeratore può essere completo o puro per alcuni valori di $a$ in particolare se $a$ = -1 allora è pura, se $a$ < -1 allora è completa e, le due radici sono entrambe negative, se $a$ è maggiore di -1 allora è completa e le due radici sono positive... bah già ho trovato un'errore... ($a>0$) non è influente...va be chiudiamo un'occhio perchè per $a > -1$ e $a>0$ i risultati sono uguali, anche se non è corretto farla per $a>0$...
per prima cosa o provato con $a>0$ (metto a > 0...giusto per farla come l'ho fatta prima anche se non è corretto)
la formula risolutiva è vero è più lungha di quella con il $2$ raccolto, ma va beh...il risultato non cambia e comunque è corretta lo stesso...
la formula risolutiva è:
$x1,2 = [2+2a +- sqrt(4+4a^2 -4)]/2$
semplificando:
$x1,2 = [2+2a +- sqrt(4a^2)]/2$ → $x1,2 = (2 +2a +- 2a)/2$ → $x1= 1$ ; $x2 = 1+a$
boh...non so perchè mi venivano quei numeri la...ora non stò guardando il foglio, perchè ci ho scarabocchiato sopra facendo calcolini e calcoletti ed è diventato illegibile...ma la stò facendo così di getto al computer...eppure mi sono gia accorto di aver fatto 2 errori $a >0$ e i due risultati XD
il punto è che io ora sono convintissimo che le 2 radici del caso $a > -1$ siano quelle ($x1 = 1$ ; $x2 = 1+a$) a te vengono così? perche altrimenti significa che non ci ho capito proprio niente XD
p.s.
lasciamo stare il denoinatore e il risultato della disequazione perchè la cosa fondamentale era il valore dei capisaldi
Il discriminante è $Delta=(2+2a)^2-4=4+4a^2+8a-4=4(a^2+2a)$. Quindi
$x_(1,2)=(2+2a+-2sqrt(a^2+2a))/2=1+a+-sqrt(a^2+2a)$
Quanto al ragionamento sul segno delle soluzioni, vale solo se queste sono reali cioè se $a<=-2$ (e allora sono negative, come giustamente dici) oppure se $a>=0$ (e sono positive). Non sarebbe male specificare che ci chiediamo questo segno in previsione di confrontare il risultato del numeratore con la $x>0$ proveniente dal denominatore; se ci fosse il solo numeratore, sarebbe tempo perso.
$x_(1,2)=(2+2a+-2sqrt(a^2+2a))/2=1+a+-sqrt(a^2+2a)$
Quanto al ragionamento sul segno delle soluzioni, vale solo se queste sono reali cioè se $a<=-2$ (e allora sono negative, come giustamente dici) oppure se $a>=0$ (e sono positive). Non sarebbe male specificare che ci chiediamo questo segno in previsione di confrontare il risultato del numeratore con la $x>0$ proveniente dal denominatore; se ci fosse il solo numeratore, sarebbe tempo perso.
"giammaria":
Il discriminante è $Delta=(2+2a)^2-4=4+4a^2+8a-4=4(a^2+2a)$. Quindi
$x_(1,2)=(2+2a+-2sqrt(a^2+2a))/2=1+a+-sqrt(a^2+2a)$
Quanto al ragionamento sul segno delle soluzioni, vale solo se queste sono reali cioè se $a<=-2$ (e allora sono negative, come giustamente dici) oppure se $a>=0$ (e sono positive). Non sarebbe male specificare che ci chiediamo questo segno in previsione di confrontare il risultato del numeratore con la $x>0$ proveniente dal denominatore; se ci fosse il solo numeratore, sarebbe tempo perso.
che scemo è vero, il prodotto notevole nemmeno l'ho visto è ho fatto un errore assurdo, più un errorissimo che un errore XD
comunque dicevo lasciamo stare la soluzione della disequazione generale perchè oggi ho iniziato a studiarmi la teoria delle equazioni di secondo grado e a me per ora importava più saper fare quello...ma come vedo devo esercitarmi molto perchè faccio degli errori assurdi XD
p.s.
grazie per le risposte
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