Disequazioni letterali, con i moduli e/o radicali (teoria)

[stellina171]

Salve,
Ho questa disequazione: $x^2-4x+m-5>$
l'esercizio chiede: determinare per quali valori di m la disequazione è soddisfatta per ogni valore reale della x .
e come soluzione, $m>9$
tradotto in un linguaggio di comuni mortali vuol dire quando $\Delta<0$ dato che $f(x)>0$ e $a>0$ ?

e poi un'altra domanda, quando abbiamo una equazione o disequazione con sia moduli che radicali, non c'è una priorità tra le due "operazioni" ... in senso che Sempre, risolvendo (o meglio impostando) prima i radicali o prima i moduli della equ./diseq. il risultato finale rimane invariato ?
grazie

[igiul1]

"stellina17":... vuol dire quando Δ<0 dato che f(x)>0 e a>0 ?

Sì! è proprio la condizione che deve verificarsi.

"stellina17":quando abbiamo una equazione o disequazione con sia moduli che radicali, non c'è una priorità tra le due "operazioni" ... in senso che Sempre, risolvendo (o meglio impostando) prima i radicali o prima i moduli della equ./diseq. il risultato finale rimane invariato ?

Immagino tu ti riferisca solo ai radicali con indice pari.
Dipende dall'espressione che hai. Se per esempio hai $sqrt(5-|x+2|)$ è evidente che devi prima considerare il valore assoluto;
se invece hai $|x+1|+sqrt(5-2x)$ risolvi due sistemi in cui le equazioni vengono date dal segno di ciò che è contenuto nel valore assoluto e dalla condizione di esistenza della radice quadrata.

[stellina171]

"igiul":Dipende dall'espressione che hai. Se per esempio hai 5−|x+2|−−−−−−−−−√ è evidente che devi prima considerare il valore assoluto;
se invece hai |x+1|+5−2x−−−−−−√ risolvi due sistemi in cui le equazioni vengono date dal segno di ciò che è contenuto nel valore assoluto e dalla condizione di esistenza della radice quadrata.

certo intendevo disequazioni tipo la seconda, per esattezza ho questa disequazione : $sqrt(9-x)>|3+x|$
che ho risolto considerando prima il valore assoluto creando due sistemi :
$\{(x>=-3),(sqrt(9-x)>3+x):}$ e $\{(x<=-3),(sqrt(9-x)> -3-x):}$
e poi ogni sistema a sua volta è l'unione di altri due sistemi ... in pratica "ho tolto il radicale"
Ma dalle tue spiegazioni mi sto chiedendo se c'è un modo più semplice per risolvere questa disequazione
che io sono una maestra nel complicarmi la vita con questi esercizi
grazie

[igiul1]

Devi semplicemente aggiungere nei due sistemi la condizione di esistenza del radicale $x<=9$ e risolvere i due sistemi così ottenuti.
Osservando che i secondi membri delle disequazioni irrazionali sono sempre positivi nelle condizioni imposte, eleva al quadrato senza porre ulteriori condizioni.

[ipaxo]

"igiul":Devi semplicemente aggiungere nei due sistemi la condizione di esistenza del radicale $x<=9$ e risolvere i due sistemi così ottenuti.
Osservando che i secondi membri delle disequazioni irrazionali sono sempre positivi nelle condizioni imposte, eleva al quadrato senza porre ulteriori condizioni.

sicuro?

non servono i due sistemi, la disequazione ha i due mebri entrambi positivi, quindi semplicemente elevando al quadrato ottengo una disequazione equivalente. cioè basta risolvere:
\(\displaystyle 9-x > 9+6x+x^2 \)

[claus931]

si pone la condizione di esistenza sul radicando che rende positivo o nullo il radicale e si eleva tutto al quadrato (essendo il secondo membro il valore assoluto di un binomio), non create confusione.

$\{(9-x>=0),((sqrt{9-x})^2>(|x+3|)^2):}$

$\{(x<=9),(9-x>x^2+6x+9):}$

$\{(x<=9),(x^2+7x<0):}$

$\{(x<=9),(-7
$-7

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[@melia]

Interpreto l'intervento di MtoF
Siccome elevando al quadrato si ottiene $9-x>x^2+6x+9$, cioè $9-x$ maggiore di un quadrato, ovvero un numero sempre non negativo, la condizione di esistenza del radicale $9-x>=0$ è già compresa in questa definizione e non serve esplicitarla.

[claus931]

"@melia":Interpreto l'intervento di MtoF
Siccome elevando al quadrato si ottiene $9-x>x^2+6x+9$, cioè $9-x$ maggiore di un quadrato, ovvero un numero sempre non negativo, la condizione di esistenza del radicale $9-x>=0$ è già compresa in questa definizione e non serve esplicitarla.

attenzione...la disequazione è una richiesta, non la puoi considerare come condizione. La condizione di esistenza va messa sempre e sotto quella eventualmente togliere opportunamente il valore assoluto e considerare il radicale come una quantità positiva o nulla.

[@melia]

Le $x$ che verificano la richiesta sono un sottoinsieme di quelle che verificano la condizione, quindi, anche secondo me, in questo caso la condizione può essere omessa.

[claus931]

ma quello lo sai dopo e, ripeto, bisogna sempre definire su cosa si lavora e non puoi usare la richiesta come condizione.

[ipaxo]

"@melia":Interpreto l'intervento di MtoF
Siccome elevando al quadrato si ottiene $9-x>x^2+6x+9$, cioè $9-x$ maggiore di un quadrato, ovvero un numero sempre non negativo, la condizione di esistenza del radicale $9-x>=0$ è già compresa in questa definizione e non serve esplicitarla.

non solo, ma possiamo approfittare della presenza del valore assoluto per trascurare anche il secondo sistema dello schema classico delle disequazioni \(\displaystyle \sqrt{f(x)}>g(x) \) che si fa per discutere \(\displaystyle g(x)<0 \). nel suo secondo intervento stellina17 chiedeva un modo più semplice per procedere..

[claus931]

quindi secondo il vostro ragionamente nel secondo sitema della disequazione $sqrt{f(x)}>g(x)$ si può omettere la condizione di esistenza? ovvero



$\{(f(x)>=0),(g(x)<0):} uu \{(\cancel{f(x)>=0}),(g(x)>=0),((sqrt{f(x)})^2>(g(x))^2):}$

[axpgn]

Certamente ... quando risolvi una disequazione in quella forma, nel secondo sistema tu hai che se la terza disequazione è vera (ovvero "la disequazione") allora il radicando è maggiore di un numero positivo o nullo (perchè elevato al quadrato) e di conseguenza la prima disequazione è automaticamente verificata e perciò inutile ...

Cordialmente, Alex

[claus931]

"axpgn":Certamente ... quando risolvi una disequazione in quella forma, nel secondo sistema tu hai che se la terza disequazione è vera (ovvero "la disequazione") allora il radicando è maggiore di un numero positivo o nullo (perchè elevato al quadrato) e di conseguenza la prima disequazione è automaticamente verificata e perciò inutile ...

Cordialmente, Alex

perdonami, da un punto di vista risolutivo, mi trovi d'accordo ma, da un punto di vista formale, va messa e poi cancellata eventualmente.

[axpgn]

Sinceramente mi sembra esagerato, anche perché, formalismo per formalismo, allora TUTTE le condizioni di esistenza andrebbero poste e risolte prima di qualsiasi altra cosa (ovvero andrebbe definito il dominio della funzione) e poi alla fine si dovrebbe verificare che le soluzioni trovate vi appartengano.

Dovresti confrontarti con la professoressa di una ragazza che conosco la quale omette quella disequazione (come me) però aggiunge al primo sistema una terza condizione: $AA x$ ...

All'atto pratico, quello è il metodo risolutivo insegnato ...


Cordialmente, Alex

[claus931]

infatti sono d'accordo di eliminarla e non risolverla ma va messa come qualsiasi condizione. Io ne faccio una questione di forma non di pratica. sarà che sono stato traumatizzato da alcune dimostrazioni di algebra lineare, non so

[axpgn]

Sì, ma vedi, se vogliamo essere formali (perchè di questo siamo discutendo) allora, secondo me, il procedimento risolutivo di una disequazione di questo tipo $sqrt(A(x))>=B(x)$ dovrebbe essere questo:

. condizione di esistenza del radicando $A(x)>=0$


. risoluzione con due casi ${(B(x)<0),(AA x):}\ \ uu\ \ {(B(x)>=0),(A(x)>=(B(x))^2):}$

IMHO

Cordialmente, Alex

P.S.: tieni conto che sia così che nel metodo pratico, diversamente dal tuo, la positività del radicando viene valutato una volta sola (teoricamente, sia chiaro ... )

[claus931]

ti ripeto, io trovo antipatico considerare le condizioni come un qualcosa da tenere nascosto, vanno espicitate e se inutili cancellate senza necessariamente risolverle anche nel sistema stesso. quindi per me $sqrt{f(x)}>g(x)$

$\{(f(x)>=0),(g(x)<0),(AA x in RR):} uu \{(\cancel{f(x)>=0}),(g(x)>=0),((sqrt{f(x)})^2>(g(x))^2):}$

concludo, io trovo corretto che un liceale abbia questo tipo di educazione, all'università, se glielo permettono, fa il cacchio che vuole...ma è proprio in quest`ultima che ho trovat il massimo della formalità