Disequazioni irrazionali. HELP ME!!!!!
Ciao a tutti oggi mi sono imbattuto in una disequazione irrazionale
che non riesco a capire come si possa risolvere:
$(sqrtx + sqrt(x-2) -1)/(sqrt(x^2+3) - sqrt(x+5)) >=0
Potete aiutarmi????
che non riesco a capire come si possa risolvere:
$(sqrtx + sqrt(x-2) -1)/(sqrt(x^2+3) - sqrt(x+5)) >=0
Potete aiutarmi????
Risposte
Prendi il numeratore... $sqrtx+sqrt(x-2)-1 ge 0$.
Come dominio d'esistenza si ha $x ge 2$, e sostituendo $x=2$ si nota che è verificata, cioè $sqrtx+sqrt(x-2) ge 1$
Per $x>2$ è evidente che risulta verificata perchè i termini in $x$ possono solo aumentare. Quindi il numeratore è maggiore di zero per ogni valore del dominio $x ge 2$!! Inoltre non potrà mai essere $=0$ a causa del dominio d'esistenza...quindi il problema generale si riassume in:
$(sqrtx+sqrt(x-2)-1)/(sqrt(x^2+3)-sqrt(x+5)) gt 0$ ---> e non $ge 0$
Ora il denominatore... $sqrt(x^2+3)-sqrt(x+5) ge 0$
Il dominio è $x ge -5$, ma non è più sufficiente basarsi su quello perchè i termini in $x$ si sottraggono. Bisogna quindi verificare quando:
$sqrt(x^2+3) ge sqrt(x+5)$
$x^2+3 ge x+5$
$x^2-x-2 ge 0$
$x_(1,2)=(1+-sqrt(1+8))/2=(1+-3)/2$
$x_1=2$
$x_2=-1$
Dunque è verificata per $x le -1$ unito a $x ge 2$
Ma intersecando il risultato col dominio, si ottiene $-5 le x le -1$ unito a $x ge 2$
Ora il totale...hai i risultati di numeratore e denominatore singolarmente...la loro combinazione deve essere $gt 0$. Quando sono entranbi $gt 0$ la loro combinazione lo sarà a sua volta...stessa cosa se sono entrambi $lt 0$. Quindi:
- ($x ge 2$) intersecato con ($-5 le x le -1$ unito a $x ge 2$)
ed è evidente che l'intersezione fornisce $x ge 2$ (in cui sono entrambi positivi)
- nota che il numeratore non può mai essere negativo, quindi l'intersezione sarà per forza vuota!
In definitiva il risultato di $(sqrtx+sqrt(x-2)-1)/(sqrt(x^2+3)-sqrt(x+5)) ge 0$ è:
$x ge 2$
con la precisazione che il denominatore tende a 0 per $x to 2^+$, quindi il tutto tende a $+oo$. In questo casi, infatti, non so se le convenzioni indichino come risultato $x ge 2$ oppure $x gt 2$...lascio a te o a qualcun'altro il compito di corregermi..
Come dominio d'esistenza si ha $x ge 2$, e sostituendo $x=2$ si nota che è verificata, cioè $sqrtx+sqrt(x-2) ge 1$
Per $x>2$ è evidente che risulta verificata perchè i termini in $x$ possono solo aumentare. Quindi il numeratore è maggiore di zero per ogni valore del dominio $x ge 2$!! Inoltre non potrà mai essere $=0$ a causa del dominio d'esistenza...quindi il problema generale si riassume in:
$(sqrtx+sqrt(x-2)-1)/(sqrt(x^2+3)-sqrt(x+5)) gt 0$ ---> e non $ge 0$
Ora il denominatore... $sqrt(x^2+3)-sqrt(x+5) ge 0$
Il dominio è $x ge -5$, ma non è più sufficiente basarsi su quello perchè i termini in $x$ si sottraggono. Bisogna quindi verificare quando:
$sqrt(x^2+3) ge sqrt(x+5)$
$x^2+3 ge x+5$
$x^2-x-2 ge 0$
$x_(1,2)=(1+-sqrt(1+8))/2=(1+-3)/2$
$x_1=2$
$x_2=-1$
Dunque è verificata per $x le -1$ unito a $x ge 2$
Ma intersecando il risultato col dominio, si ottiene $-5 le x le -1$ unito a $x ge 2$
Ora il totale...hai i risultati di numeratore e denominatore singolarmente...la loro combinazione deve essere $gt 0$. Quando sono entranbi $gt 0$ la loro combinazione lo sarà a sua volta...stessa cosa se sono entrambi $lt 0$. Quindi:
- ($x ge 2$) intersecato con ($-5 le x le -1$ unito a $x ge 2$)
ed è evidente che l'intersezione fornisce $x ge 2$ (in cui sono entrambi positivi)
- nota che il numeratore non può mai essere negativo, quindi l'intersezione sarà per forza vuota!
In definitiva il risultato di $(sqrtx+sqrt(x-2)-1)/(sqrt(x^2+3)-sqrt(x+5)) ge 0$ è:
$x ge 2$
con la precisazione che il denominatore tende a 0 per $x to 2^+$, quindi il tutto tende a $+oo$. In questo casi, infatti, non so se le convenzioni indichino come risultato $x ge 2$ oppure $x gt 2$...lascio a te o a qualcun'altro il compito di corregermi..
In questo casi, infatti, non so se le convenzioni indichino come risultato $x>=2$ oppure $x>2$...lascio a te o a qualcun'altro il compito di corregermi..
Derive dice che le soluzioni sono
$x>2$.
Giustamente, perchè per $x=2$ la frazione non è definita a causa dell'annullamento del denominatore.
Grazie mille a tutti x l'aiuto!!!!
Ok, giusto per la non definizione! Grz steven
Di nulla benz...bye!
Di nulla benz...bye!
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