Disequazioni irrazionali fratte!
Ciao ragazzi, potreste aiutarmi ad impostare le seguenti disequazioni? Io non so praticamente nemmeno da dove partire, cioè, un minimo si, so che devo studiare numeratore e denominatore maggiore di 0 però in questo caso in cui ho sia modulo sia radicale a numeratore come si fa? E nelle altre?
http://i41.tinypic.com/2cgdaqb.jpg
http://i41.tinypic.com/2cgdaqb.jpg
Risposte
Ciao!!
In base alle disequazioni che hai linkato cerco di fornirti un algoritmo di massima che ti consiglio di seguire per minimizzare i conti e soprattutto gli errori.
1. Preliminarmente vedi di "portare" tutto a membro sinistro e di sommare calcolando il minimo comune multiplo a denominatore (qualora sia necessario). Così facendo riusciamo a "standardizzare" i passaggi successivi.
2. Studia in separata sede la positività di numeratore e denominatore a prescindere dal simbolo di disuguaglianza presente nella disequazione in esame (quello entra in gioco solo alla fine, per determinare la soluzione). Ricorda che a denominatore non sono accettabili i valori che lo annullano (i "famosi" pallini vuoti).
3. Nello studio della positività (sia a numeratore che a denominatore) qualora siano presenti radici di indice pari (come ad esempio le radici quadrate) è bene porre preliminarmente le condizioni di esistenza intersecando la C.E. di ogni singola radice (radicando maggiore o uguale a zero). A questo punto viene la parte più delicata. Prima di procedere con uno o più elevamenti al quadrato (o altra potenza in base all'indice delle radici) è bene che le radici con segno meno vengano "portate" all'altro membro: insomma, entrambi i membri della disequazione devono risultare non negativi per qualsiasi valore di x rispetto alle C.E. Ciò fatto, non credo vi siano più grossi problemi.
4. Nello studio della positività (sia a numeratore che a denominatore) qualora siano presenti valori assoluti, in generale, si studia la positività dell'argomento del modulo e si studiano in separata sede i due o più casi che ne scaturiscono. Alla fine si uniranno le relative soluzioni. In casi particolari, come il numeratore della disequazione numero 701, è più sbrigativo isolare il valore assoluto a membro sinistro e "portare" tutto il resto a membro destro (badando bene che sia una quantità non negativa per qualsiasi x rispetto alle C.E.) e procedere con l'elevamento al quadrato. Naturalmente quando sono presenti radici di indice pari è doveroso fissare le condizioni di esistenza, sempre e comunque (così facendo si evitano un sacco di errori gratuiti).
5. Ora è tutto in discesa. Infatti, è sufficiente fare il prodotto dei segni tra i segni del numeratore e quelli del denominatore e selezionare gli intervalli in base al simbolo di disuguaglianza presente nella disequazione all'ultimo passaggio, prima di cominciare gli studi della positività.
In conclusione, vediamo un esempio pratico; la risoluzione della numero 702.
dunque, facendo il prodotto dei segni e tenendo ben presente le C.E. si conclude che la disequazione in esame è verificata per
Spero di averti chiarito qualcosina. In caso contrario, chiedi senza alcuna esitazione, qualcuno correrà sicuramente in tuo soccorso. Per quanto riguarda le disequazioni coi moduli, prova a postare i tuoi passaggi che ne discutiamo assieme ;)
In base alle disequazioni che hai linkato cerco di fornirti un algoritmo di massima che ti consiglio di seguire per minimizzare i conti e soprattutto gli errori.
1. Preliminarmente vedi di "portare" tutto a membro sinistro e di sommare calcolando il minimo comune multiplo a denominatore (qualora sia necessario). Così facendo riusciamo a "standardizzare" i passaggi successivi.
2. Studia in separata sede la positività di numeratore e denominatore a prescindere dal simbolo di disuguaglianza presente nella disequazione in esame (quello entra in gioco solo alla fine, per determinare la soluzione). Ricorda che a denominatore non sono accettabili i valori che lo annullano (i "famosi" pallini vuoti).
3. Nello studio della positività (sia a numeratore che a denominatore) qualora siano presenti radici di indice pari (come ad esempio le radici quadrate) è bene porre preliminarmente le condizioni di esistenza intersecando la C.E. di ogni singola radice (radicando maggiore o uguale a zero). A questo punto viene la parte più delicata. Prima di procedere con uno o più elevamenti al quadrato (o altra potenza in base all'indice delle radici) è bene che le radici con segno meno vengano "portate" all'altro membro: insomma, entrambi i membri della disequazione devono risultare non negativi per qualsiasi valore di x rispetto alle C.E. Ciò fatto, non credo vi siano più grossi problemi.
4. Nello studio della positività (sia a numeratore che a denominatore) qualora siano presenti valori assoluti, in generale, si studia la positività dell'argomento del modulo e si studiano in separata sede i due o più casi che ne scaturiscono. Alla fine si uniranno le relative soluzioni. In casi particolari, come il numeratore della disequazione numero 701, è più sbrigativo isolare il valore assoluto a membro sinistro e "portare" tutto il resto a membro destro (badando bene che sia una quantità non negativa per qualsiasi x rispetto alle C.E.) e procedere con l'elevamento al quadrato. Naturalmente quando sono presenti radici di indice pari è doveroso fissare le condizioni di esistenza, sempre e comunque (così facendo si evitano un sacco di errori gratuiti).
5. Ora è tutto in discesa. Infatti, è sufficiente fare il prodotto dei segni tra i segni del numeratore e quelli del denominatore e selezionare gli intervalli in base al simbolo di disuguaglianza presente nella disequazione all'ultimo passaggio, prima di cominciare gli studi della positività.
In conclusione, vediamo un esempio pratico; la risoluzione della numero 702.
[math]\frac{\sqrt{4+x}-\sqrt{6-x}}{\sqrt{x-1}}\ge 1 \; \Leftrightarrow \; \frac{\sqrt{4+x}-\sqrt{6-x}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}}\ge 0 \; ;\\[/math]
[math] C.E. \; \begin{cases} 4 + x \ge 0 \\ 6-x \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \; \Leftrightarrow \; 1\le x \le 6 \; ; \\[/math]
[math]\begin{align}N : \; & \sqrt{4+x}-\sqrt{6-x}-\sqrt{x-1}\ge 0 \\ & \sqrt{4+x}\ge \sqrt{6-x}+\sqrt{x-1} \\ & \left(\sqrt{4+x}\right)^2 \ge \left(\sqrt{6-x}+\sqrt{x-1}\right)^2 \\ & 2\sqrt{6-x}\sqrt{x-1}\le 1-x \\ & \begin{cases} 1-x>0 \\ \left(2\sqrt{6-x}\sqrt{x-1}\right)^2 \le (1-x)^2\end{cases} \\ & \begin{cases}x< 1 \\ x^2-6x+5 \ge 0\end{cases} \\ & \begin{cases}x < 1 \\ (x-1)(x-5)\ge 0\end{cases} \\ & \begin{cases} \\ x < 1 \, \vee \, x \ge 5\end{cases} \; ;\end{align} \\[/math]
[math]D: \; \sqrt{x-1}> 0 \; \Leftrightarrow \; x > 1 \; ;\\[/math]
dunque, facendo il prodotto dei segni e tenendo ben presente le C.E. si conclude che la disequazione in esame è verificata per
[math]5 \le x \le 6\\[/math]
.Spero di averti chiarito qualcosina. In caso contrario, chiedi senza alcuna esitazione, qualcuno correrà sicuramente in tuo soccorso. Per quanto riguarda le disequazioni coi moduli, prova a postare i tuoi passaggi che ne discutiamo assieme ;)
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