Disequazioni irrazionali
buonasera
ho una disequazione irrazionale , nella forma $root(n)(f(x))>g(x)$ con $n$ pari
il testo cui faccio riferimento , mi dice che in caso di n pari devo risolvere i due sistemi
$\{(g(x)<0),(f(x)>=0):}$ ; $\{(g(x)>=0),(f(x)>[g(x)]^n):}$
quello che non capisco è la presenza , nel secondo sistema , della condizione $g(x)>=0$ ; tale condizione non è già esclusa dal primo sistema ? perchè tenerne conto ? è una formalità ?
ho una disequazione irrazionale , nella forma $root(n)(f(x))>g(x)$ con $n$ pari
il testo cui faccio riferimento , mi dice che in caso di n pari devo risolvere i due sistemi
$\{(g(x)<0),(f(x)>=0):}$ ; $\{(g(x)>=0),(f(x)>[g(x)]^n):}$
quello che non capisco è la presenza , nel secondo sistema , della condizione $g(x)>=0$ ; tale condizione non è già esclusa dal primo sistema ? perchè tenerne conto ? è una formalità ?
Risposte
Il primo sistema dice che puoi accettare tutte le x del dominio ($f(x)>=0$) in cui il secondo membro sia negativo ($g(x)<0$,
il secondo sistema dice che la disuguaglianza potrebbe essere verificata anche se $g(x)>=0$, in questo caso poiché entrambi i membri sono positivi è possibile elevare a potenza pari per cui $f(x)<=[g(x)]^n$
Una volta risolti i due sistemi devi fare l'unione delle soluzioni.
il secondo sistema dice che la disuguaglianza potrebbe essere verificata anche se $g(x)>=0$, in questo caso poiché entrambi i membri sono positivi è possibile elevare a potenza pari per cui $f(x)<=[g(x)]^n$
Una volta risolti i due sistemi devi fare l'unione delle soluzioni.
no, è importante distinguere i due casi, sostanzialmente per due motivi:
1) se n è pari, elevando alla n otterrai termini non negativi, indipendentemente dal segno delle basi;
2) se g(x) < 0, è certamente minore di una quantità non negativa come la radice ennesima, di cui bisogna trovare il campo di esistenza.
dunque si esaminano in particolare i due casi (la soluzione della disequazione sarà l'unione delle soluzioni dei due sistemi):
se g(x)<0, basta che esista la radice n-esima, per cui g(x)<0 va a sistema con f(x)>=0;
se g(x)>=0 abbiamo da confrontare due quantità non negative, per cui possiamo elevare alla n senza che la cosa muti il segno di primo o secondo membro; in tal caso la condizione di esistenza del radicale è contenuta nelle altre due disequazioni.
spero sia chiaro. ti segnalo comunque che sul forum si è discusso su metodi alternativi di soluzione (se non sbaglio su proposta dell'utente giammaria). ciao.
1) se n è pari, elevando alla n otterrai termini non negativi, indipendentemente dal segno delle basi;
2) se g(x) < 0, è certamente minore di una quantità non negativa come la radice ennesima, di cui bisogna trovare il campo di esistenza.
dunque si esaminano in particolare i due casi (la soluzione della disequazione sarà l'unione delle soluzioni dei due sistemi):
se g(x)<0, basta che esista la radice n-esima, per cui g(x)<0 va a sistema con f(x)>=0;
se g(x)>=0 abbiamo da confrontare due quantità non negative, per cui possiamo elevare alla n senza che la cosa muti il segno di primo o secondo membro; in tal caso la condizione di esistenza del radicale è contenuta nelle altre due disequazioni.
spero sia chiaro. ti segnalo comunque che sul forum si è discusso su metodi alternativi di soluzione (se non sbaglio su proposta dell'utente giammaria). ciao.
domanda al volo , mentre cerco di capire bene il procedimento :
faccio l'unione delle soluzioni perchè i due sistemi sono sottoinsiemi dello stesso insieme ?
faccio l'unione delle soluzioni perchè i due sistemi sono sottoinsiemi dello stesso insieme ?
perché sono due casi distinti, incompatibili tra loro (uno con g<0 uno con g>=0), però entrambi forniscono soluzioni accettabili per la disequazione irrazionale di partenza.
appunto . sottoinsiemi distinti dello stesso insieme
sì, dell'insieme ... "delle soluzioni".
"@melia":
Il primo sistema dice che puoi accettare tutte le x del dominio ($f(x)>=0$) in cui il secondo membro sia negativo ($g(x)<0$,
il secondo sistema dice che la disuguaglianza potrebbe essere verificata anche se $g(x)>=0$, in questo caso poiché entrambi i membri sono positivi è possibile elevare a potenza pari per cui $f(x)<=[g(x)]^n$
Una volta risolti i due sistemi devi fare l'unione delle soluzioni.
hai sbagliato nello scriverer ho è proprio $f(x)<=[g(x)]^n$ ? non dovrebbe essere $>=$ ? anzi mi correggo , $>$ , dal secondo sistema
ho capito
anche se non mi è chiaro come mai @amelia hai scritto $<=$ ...
se non ho capito male , devo discutere le 2 possibili condizioni di $g(x)$ ; se $g(x)$ è una quantità minore di 0 , mi basta porre l'esistenza del radicale che è sicuramente una quantità non negativa , per verificare la disequazione $root(n)(f(x))>g(x)$
se $g(x)$ è non negativo , come lo è il radicale , non mi basta più la semplice condizione di esistenza del radicale , e devo quindi "risolvere l'irrazionalità" elevando tutto a $n$ e svolgere i calcoli . essendo due condizioni incompatibili l'una con l'altra danno vita a due sistemi distinti , ma sottoinsiemi dello stesso insieme , quindi unisco le soluzioni .
anche se non mi è chiaro come mai @amelia hai scritto $<=$ ...
se non ho capito male , devo discutere le 2 possibili condizioni di $g(x)$ ; se $g(x)$ è una quantità minore di 0 , mi basta porre l'esistenza del radicale che è sicuramente una quantità non negativa , per verificare la disequazione $root(n)(f(x))>g(x)$
se $g(x)$ è non negativo , come lo è il radicale , non mi basta più la semplice condizione di esistenza del radicale , e devo quindi "risolvere l'irrazionalità" elevando tutto a $n$ e svolgere i calcoli . essendo due condizioni incompatibili l'una con l'altra danno vita a due sistemi distinti , ma sottoinsiemi dello stesso insieme , quindi unisco le soluzioni .
chi tace acconsente , grazie mille @amelia e adaBTTLS
ciao
ciao
prego. ciao
"stefano.c":
ho capito
anche se non mi è chiaro come mai @amelia hai scritto $<=$ ...
Perché ho sbagliato il verso della disuguaglianza.
ho questa cosa qui
$sqrt(5x^2-14x+1)$ ; per definere il C.E. mi basta dimostrare che $-b-sqrtDelta>0$ ?
$sqrt(5x^2-14x+1)$ ; per definere il C.E. mi basta dimostrare che $-b-sqrtDelta>0$ ?
No, è $5x^2-14x+1>=0$, quindi trovi le soluzioni dell'equazione associata, tutte e due, e poi risolvi la disequazione
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