Disequazioni goniometriche di vario tipo
Salve
Potreste risolvere questo esercizio che non riesco a svolgere in null'altro modo se non, errando, nel seguente modo:
senx(2cosx-1)>0
Io ho tentato così:
moltiplicando senx e ottenendo:
2senxcosx-sen>0
per poi scrivere:
sen2x-senx>0
e scrivere:
senx(senx-1) e poi svolgere i calcoli, ma non ottenendo la seguente soluzione del libro:
2kπ\leqx<π/3+2kπ...
potreste svolgerla elencandomi quale formula goniometrica o meno userete?
Grazie
Potreste risolvere questo esercizio che non riesco a svolgere in null'altro modo se non, errando, nel seguente modo:
senx(2cosx-1)>0
Io ho tentato così:
moltiplicando senx e ottenendo:
2senxcosx-sen>0
per poi scrivere:
sen2x-senx>0
e scrivere:
senx(senx-1) e poi svolgere i calcoli, ma non ottenendo la seguente soluzione del libro:
2kπ\leqx<π/3+2kπ...
potreste svolgerla elencandomi quale formula goniometrica o meno userete?
Grazie
Risposte
"Giovanni Mascolo":
senx(2cosx-1)>0
perché complicarsi la vita moltiplicando ?.. è un prodotto $ sin(x)(2 cos(x)-1)>0 $
$ { ( sin(x)>0 ),( 2cos(x)-1>0 ):} \to { ( sin(x)>0 ),( cos(x)>1/2 ):} $
ora il $ sin(x)>0 \to x\in(0,\pi) $ , se le soluzioni sono richieste in tutto $[0,2\pi]$
allora si deve scrivere $\sin(x)>0 \to x\in(2\pi k, \pi+2k\pi)$
ora bisogna risolvere $ cos(x)>1/2 $
che è $ x\in (0,\pi/3) \vee (5/3\pi,2\pi) $
nota che $ -\pi/3=5/3\pi $
Ora metti insieme le soluzioni trovate e vedi dove coincidono..
Innanizutto benvenuto al forum, @Giovanni Mascolo, e buona permanenza. Posso consigliarti di dare un'occhiata alle due discussioni di cui trovi il link nel box rosa in alto in ogni pagina, ovvero regolamento e formule.
Posso dirti soprattutto nelle formule che in realtà non è così difficile, se prendi quello che hai scritto, per esempio, e lo metti tra due simboli di dollaro, cioè così
ottieni
$senx(2cosx-1)>0$
Visto che sei appena iscritto, ti do una mano e ti dico anche cosa vedo che non va (sono tutt'altro che infallibile, ma comunque credo di esserti utile
).
Tu hai tentato così (in realtà ho aggiunto solo coppie di simboli di dollaro a quanto scrivi
):
moltiplichi la parentesi
$2senxcosx-sen>0$ cioè $sen2x-senx>0$
l'errore è qui, quando scrivi
$sin (2x) = sin(x)sin(x)$ questo passaggio è errato.
$sin(2x) \ne sin(x)sin(x) = sin^2(x)$, ma come avevi visto all'inizio nel passaggio inverso $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$.
In realtà, partendo da qui
$senx(2cosx-1)>0$
potresti fare lo studio del segno in modo classico di ognuno dei termini e vedere cosa viene fuori come risultato.
Posso dirti soprattutto nelle formule che in realtà non è così difficile, se prendi quello che hai scritto, per esempio, e lo metti tra due simboli di dollaro, cioè così
$senx(2cosx-1)>0$
ottieni
$senx(2cosx-1)>0$
Visto che sei appena iscritto, ti do una mano e ti dico anche cosa vedo che non va (sono tutt'altro che infallibile, ma comunque credo di esserti utile
).Tu hai tentato così (in realtà ho aggiunto solo coppie di simboli di dollaro a quanto scrivi
):moltiplichi la parentesi
$2senxcosx-sen>0$ cioè $sen2x-senx>0$
l'errore è qui, quando scrivi
$sin (2x) = sin(x)sin(x)$ questo passaggio è errato.
$sin(2x) \ne sin(x)sin(x) = sin^2(x)$, ma come avevi visto all'inizio nel passaggio inverso $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$.
In realtà, partendo da qui
$senx(2cosx-1)>0$
potresti fare lo studio del segno in modo classico di ognuno dei termini e vedere cosa viene fuori come risultato.
"21zuclo":
perché complicarsi la vita moltiplicando ?.. è un prodotto $ sin(x)(2 cos(x)-1)>0 $
$ { ( sin(x)>0 ),( 2cos(x)-1>0 ):} \to { ( sin(x)>0 ),( cos(x)>1/2 ):} $
Attenzione, così facendo escludi questo caso
$ { ( sin(x)<0 ),( 2cos(x)-1<0 ):}$
che è valido poiché il prodotto tra i due termini negativi dà un risultato positivo e risolve la disequazione iniziale (meno per meno fa più detto banalmente
).Per questo consiglio lo studio del segno "classico". Sarà lungo e noioso ma è tranquillo, calmo e... funziona.
Come dice Zero87, i classici non vanno mai fuori moda.
Se riuscirai a capire il mio grafico:
a) bravo (perchè fa schifo)
b) troverai la soluzione
Se riuscirai a capire il mio grafico:
a) bravo (perchè fa schifo)
b) troverai la soluzione
Grazie a tutti. La matematica è difficile però bella...
Come faccio ad unire le soluzioni? Sovrappongo le circonferenze?
"Zero87":
[quote="21zuclo"]perché complicarsi la vita moltiplicando ?.. è un prodotto $ sin(x)(2 cos(x)-1)>0 $
$ { ( sin(x)>0 ),( 2cos(x)-1>0 ):} \to { ( sin(x)>0 ),( cos(x)>1/2 ):} $
Attenzione, così facendo escludi questo caso
$ { ( sin(x)<0 ),( 2cos(x)-1<0 ):}$
che è valido poiché il prodotto tra i due termini negativi dà un risultato positivo e risolve la disequazione iniziale (meno per meno fa più detto banalmente
).Per questo consiglio lo studio del segno "classico". Sarà lungo e noioso ma è tranquillo, calmo e... funziona.
[/quote]Sì hai ragione, ho sbagliato a mettere la parentesi graffa come il sistema..
meglio studiare separatamente.. hai ragione!
Chiedo scusa per l'errore!..
"21zuclo":
Sì hai ragione, ho sbagliato a mettere la parentesi graffa come il sistema..
meglio studiare separatamente.. hai ragione!
Chiedo scusa per l'errore!..
Non preoccuparti, l'importante è capirsi, sapessi quante brutte figure ho fatto io di recente...
@Giovanni, ora sono da cellulare e non riesco a scrivere qualcosa di concreto senza imprecare con il touch screen, provo però a dire qualcosa.
Se fai lo studio del segno "classico", il procedimento è come quello di @Bokonon anche se magari non l'hai mai visto così ma in orizzontale, ovvero qualcosa del tipo
----------->
---|++|++
---|----|++
(che ho disegnato in modo orribile, lo so). Bokonon, in un modo originale ha "arrotolato" il grafico perché le funzioni trigonometriche sono periodiche. Ammetto di non averlo mai visto quel modo di risolvere ma è molto bello.
i
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