Disequazioni goniometriche (76012)

[Nefy]

disequazioni goniometriche. non riesco a capire come si rappresentano i risultati sulla circonferenza né come si scrive la soluzione, sul libro c'è scritto per esempio: 2 cos al quadrato x + 3 cosx + 1 > 0
e la soluzione è:
2k π ≤ x < 2k π + 2/3 π ; (2k + 1)π + π/3 < x ≤ 2 (k + 1)π
non ho la minima idea di cosa voglia dire
e cosa cambia se il verso del discriminante è maggiore (>) oppure minore (

[BIT5]

per prima cosa sostituisci

[math] \cos x = t [/math]

otterrai

[math] 2t^2+3t+1>0 [/math]

e quindi, risolvi la disequazione in t

[math] t= \frac{-3 \pm \sqrt{9-8}}{4} = \frac{-3 \pm 1}{4} [/math]

quindi

[math] t - \frac12 [/math]

e quindi risostituendo

[math] \cos x < -1 \cup \cos x > - \frac12 [/math]

Ora consideri la circonferenza goniometrica...

cos x non e' mai < -1 (il coseno di un angolo varia da -1 a 1, estremi compresi)

mentre cos x > - 1/2 quando l'angolo x e' compreso tra 0 e 2/3 pigreco e tra 4/3 pigreco e 2pigreco (ovviamente ogni giro, quindi con il periodo)

la soluzione sara' dunque

[math] 0 + 2k \pi < x < \frac23 \pi + 2k \pi \cup \frac43 \pi + 2k \pi < x < 2 \pi + 2 k \pi [/math]

0 + 2k pgreco e', ovviamente, 2k pigreco.

La seconda parte della soluzione coincide con quella dell'esercizio anche se e' scritta in modo diverso.

Prendiamo l'estremo

[math] \frac43 \pi + 2k \pi [/math]

il tuo testo, riscrive 4/3 pigreco come 3/3pigreco + 1/3pigreco quindi pigreco + 1/3 pigreco

[math] \pi + \frac13 \pi + 2k \pi [/math]

a questo punto raccoglie pigreco

[math] \frac13 \pi + \pi ( 1+2k) [/math]

comunque e' un modo inutile di scrivere le soluzioni, come le ho scritte io sono comunque corrette :)