Disequazioni gonimetriche

[MaryMary1]

Salve a tutti,
sto cercando di capire come risolvere le disequazioni goniometriche. Ne posto una... Gentilmente mi date una mano a concluderla? grazie infinite

$ (2cos^2x - sen^2 2x)cos(x- \pi/6) <=0$

soluzione
$\pi/4 +2k\pi<=x<= 2/3\pi +2k\pi $
$ 3/4 \pi +2k\pi<=x<= 5/4 \pi +2k\pi $

Procedo:

dopo unA serie di considerazioni arrivo a :

$ 2cos^2(1-2sen^2x)(\sqrt(3)/2cosx+1/2senx)<=0 $



Studio i segni


$ 2cos^2x >=0 $ sempre

$1-2sen^2x >=0 $ cioè $-\sqrt(2)/2 <=senx<= \sqrt(2)/2 $

$senx >= -\sqrt(2)/2 $ per $0<=x<=5/4\pi$ $vv$ $7/4\pi<=x<=2\pi$

$senx<=\sqrt(2)/2$ per $ 0<=x<=\pi/4$ $vv$ $ 3/4 \pi <=x<= 2\pi $



$(\sqrt(3)/2cosx+1/2senx) >=0 $

$\sqrt(3) +tgx >=0 $ $rarr$ $ tgx>=-\sqrt(3) $

soluzioni $ 0<=x < \pi/2 $ $vv$ $ 2/3\pi <= x <3/2 \pi $ $vv$ $ 5/3\pi <=x<= 2\pi $

Arrivati a questo punto come faccio a trovare le soluzioni?
devo studiare i segni di tutte le soluzioni che ho trovato e prendere quelli negativi? cosi facendo però non mi trovo con il risultato
Grazie a chi vorrà aiutarmi

[@melia]

Disegna la circonferenza goniometrica.
Segna con una semiretta uscente dall'origine gli angoli nei quali $senx= +-sqrt2/2$ e $tgx= -sqrt3$
Invece di fare lo studio dei segni su una retta, lo fai sulla circonferenza indicando con il segno $+$ o $-$ a seconda che l'arco che consideri rientri nel valore positivo o negativo del tuo fattore.
Il grafico che ti propongo è simile a quelli che trovi qui.

[MaryMary1]

melia ti ringrazio per aver risposto

l'esempio che mi hai linkato è abbastanza semplice e l'ho compreso, ma poi quando metto mano alle mie soluzioni non so come fare...sono un mucchio di intervalli non ho ben capito come metterli sulla circonferenza goniometrica...

[@melia]

Mi spiace, non sono capace di inserire l'immagine. Ma guarda che è molto simile al link che ti ho allegato, hai solo due fattori, un seno e una tangente.

[MaryMary1]

in pratica devo mettere tutti e 4 gli intervalli del seno su una circonferenza e i tre intervalli della tangente su un'altra circonferenza e vedere dove sono verificate entrambe? se è cosi non mi viene il risultato, avrò sbagliato gli intervalli allora, ma ricontrollando mi sembrano giusti

[orsoulx]

"MaryMary":...e vedere dove sono verificate entrambe? se è cosi non mi viene il risultato,

Non proprio. Ci sono diversi errori.
Le soluzioni 'ufficiali' sono incomplete: occorre aggiungere $ x= 3/2 \pi +2k \pi vv 5/3 \pi + 2k \pi <=x<= 7/4 \pi +2k \pi $

La disequazione $ cos^2x>=0 $ è sempre verificata, ma non bisogna dimenticare che per $ x=\pi/2+k\pi $ il prodotto si annullerà, indipendentemente dal segno degli altri fattori.

Non hai compleetato $ 1-2sin^2x>=0 $.

Hai inutilmente complicato $ cos( x-\pi/6) >= 0 $. E' una disequazione elementare: il coseno si annulla quando $ x-\pi/6=\pi/2+k\pi$, da cui ricavi facilmente i valori di $ x $ e l'intervallo (uno solo, al limite due se sei abituata a spezzare in $ x=2k\pi $).
Essendo una disequazione e volendo trasformarla in una lineare (come hai fatto), non puoi dividere tranquillamente per $ cos(x) $ allo scopo di passare alla tangente: quando il coseno è negativo, cosa succede?
Ciao