Disequazioni fratte e sistemi

[angelox9]

Salve a tutti, stavo ripassando le disequazioni fratte, venendomi alla mente alcuni dubbi.
Cercando su internet, ho visto che vengono affrontate in maniera diversa.
Volevo sapere se i metodi sono entrambi giusti, oppure se perdo un insieme di soluzioni.

Esempio 1:

\(\displaystyle \frac{-10x+9}{3x-1} >0\)

1)Metodo:

Numeratore:
\(\displaystyle -10x+9>0 \)
\(\displaystyle 9>10x \)
\(\displaystyle x<\frac{9}{10} \)

Denominatore:
\(\displaystyle 3x-1>0 \)
\(\displaystyle 3x>1 \)
\(\displaystyle \frac{1}{3}
Applichiamo la regola dei segni, dobbiamo prendere dove la soluzione è positiva: \(\displaystyle \frac{1}{3}
2)Metodo:
Una frazione e positiva quando numeratore e denominatore hanno segni concordi, cioè nei seguenti due casi:
\(\displaystyle A=\begin{cases}
-10x+9>0
\\
3x-1>0
\end{cases} \)

\(\displaystyle B=\begin{cases}
-10x+9<0
\\
3x-1<0
\end{cases} \)

\(\displaystyle A=\begin{cases}
x<\frac{9}{10}
\\
x>\frac{1}{3}
\end{cases} \)

\(\displaystyle B=\begin{cases}
x>\frac{9}{10}
\\
x<\frac{1}{3}
\end{cases} \)

Per entrambi i sistemi, cerchiamo dove si intersecano le soluzioni.
Soluzioni di A: \( \displaystyle \frac{1}{3} Soluzioni di B: non ha soluzioni
Dobbiamo prendere unione delle due soluzioni, quindi: \( \displaystyle \frac{1}{3}


Esempio 2:

\( \displaystyle \frac{-x+10}{x-3} <0 \)

1)Metodo:

Numeratore:
\( \displaystyle -x+10<0 \)
\( \displaystyle x>10 \)

Denominatore:
\( \displaystyle x-3<0 \)
\( \displaystyle x<3 \)

Applichiamo la regola dei segni, dobbiamo prendere dove la soluzione è negativa: \(\displaystyle x<3 V x>10 \)

2)Metodo:
Una frazione e negativa quando numeratore e denominatore hanno segni discordi, cioè nei seguenti due casi:
\( \displaystyle A=\begin{cases} -x+10>0 \\ x-3<0 \end{cases} \)

\( \displaystyle B=\begin{cases} -x+10<0 \\ x-3>0 \end{cases} \)

\( \displaystyle A=\begin{cases} x<10 \\ x<3 \end{cases} \)

\( \displaystyle B=\begin{cases} x>10 \\ x>3 \end{cases} \)

Per entrambi i sistemi, cerchiamo dove si intersecano le soluzioni.
Soluzioni di A: \(\displaystyle x<3 \)
Soluzioni di B: \(\displaystyle x>10 \)
Dobbiamo prendere unione delle due soluzioni, quindi: \(\displaystyle x<3 V x>10 \)

Considerando i due esempi che ho svolto, sembra che arriviamo alle stesse conclusioni.
Quindi mi chiedo è cosi?
Se la risposta e si, quale dei due è consigliabile usare, perchè?

P.s.
Che metodo utilizzate voi?

Ringrazio in anticipo.

[igiul1]

I metodi sono entrambi validi ed efficaci e portano sempre alle stesse soluzioni.

Tu cosa preferisci: risolvere due sistemi e poi prendere l'unione delle soluzioni o risolvere due sole disequazioni ed applicare poi la regola dei segni?

P.S. Nello studio del segno di numeratore e denominatore io preferisco imporre sempre entrambi positivi.

[angelox9]

"igiul":I metodi sono entrambi validi ed efficaci e portano sempre alle stesse soluzioni.

Sempre alle stesse soluzioni?
Non perdo, soluzioni?

"igiul":
P.S. Nello studio del segno di numeratore e denominatore io preferisco imporre sempre entrambi positivi.

Capisco, cambia qualcosa oppure è sbagliato se si pone negativo?

Quindi tu preferisci, risolvere due sole disequazioni ed applicare poi la regola dei segni?

[axpgn]

Come fanno tutti ...
Generalmente si studia dove numeratore e denominatore sono positivi semplicemente perché se cambi "metodo" ogni volta è facile fare confusione ...