Disequazioni fratte
Buongiorno, ho un dubbio sulle disequazioni fratte, in particolare per quanto riguarda la teoria. I libri che ho dicono che, indipendentemente dal verso della disequazione, va sempre posto $N>0$ e $D>0$. Tuttavia, alcuni siti che ho consultato dicono che, in presenza di $≥$ o $≤$ si deve porre $N≥0$ e $D>0$. Chi ha ragione?
Risposte
Ciò che poni è un NON-problema. Non concentrarti sulle meccaniche preconfezionate per l'insegnamento; prova sempre a comprendere il significato di ciò che stai facendo.
Considera una frazione fra numeri reali $a/b$. Per definizione non possiamo dividere per zero, pertanto dobbiamo porre $b!=0$. Ora abbiamo tre casistiche:
a ) $a/b=0 rArr a=0$
b ) $a/b>0$ implica che a e b devono avere segni concordanti
c ) $a/b<0$ implica che a e b devono avere segni discordanti
Volendo possiamo accorpare le casistiche e chiederci quando $a/b>=0$: la risposta adesso è ovvia.
Accade quando si verifica a) oppure b)...o in altro modo, quando NON accade c )
Adesso prendiamo una frazione fra funzioni reali e chiediamoci quando $(N(x))/(D(x))>=0$
Stavolta sia il numeratore che il denominatore non sono costanti ma variano al variare di x.
Però, il ragionamento precedente resta intatto.
Il processo logico è il medesimo, pertanto, per prima cosa, assicuriamoci che $D(x)!=0$, escludendo gli eventuali valori di x per cui possa accadere.
Poi studiamo il caso a ) e il caso b) oppure quando NON accade c )
Il caso a ) è immediato: chiediamoci quando il numeratore è pari a zero, ovvero quando $N(x)=0$.
Al variare di x, il numeratore e i denominatore possono avere segni concordanti/discordanti. A noi interessano le concordanze, pertanto chiediamoci quando entrambi sono positivi, ovvero $N(x), D(x)>0$ e simultaneamente sapremo anche quando sono entrambi negativi.
Risolvendo le due disequazioni otteniamo gli intervalli per cui, rispettivamente, entrambi il numeratore e il denominatore sono positivi/negativi. Ma a noi interessa trovare gli intervalli comuni per cui la frazione è positiva, pertanto intersechiamo le soluzioni e troviamo questi intervalli.
Nota che nessuno può impedirti di studiare direttamente il caso c ), ovvero quando $N(x)<0, D(x)>0$ e una volta trovati gli intervalli comuni di discordanza ...gli escludi dall'asse reale.
Ciò che stiamo facendo dipende solo e unicamente dalla domanda che ci poniamo ovvero $(N(x))/(D(x))?0$ dove al posto del punto interrogativo possiamo mettere $> < >= <=$
Per esempio, se $? = >$ allora dobbiamo rispondere solo alla casistica b )...sic et simpliciter.
Considera una frazione fra numeri reali $a/b$. Per definizione non possiamo dividere per zero, pertanto dobbiamo porre $b!=0$. Ora abbiamo tre casistiche:
a ) $a/b=0 rArr a=0$
b ) $a/b>0$ implica che a e b devono avere segni concordanti
c ) $a/b<0$ implica che a e b devono avere segni discordanti
Volendo possiamo accorpare le casistiche e chiederci quando $a/b>=0$: la risposta adesso è ovvia.
Accade quando si verifica a) oppure b)...o in altro modo, quando NON accade c )
Adesso prendiamo una frazione fra funzioni reali e chiediamoci quando $(N(x))/(D(x))>=0$
Stavolta sia il numeratore che il denominatore non sono costanti ma variano al variare di x.
Però, il ragionamento precedente resta intatto.
Il processo logico è il medesimo, pertanto, per prima cosa, assicuriamoci che $D(x)!=0$, escludendo gli eventuali valori di x per cui possa accadere.
Poi studiamo il caso a ) e il caso b) oppure quando NON accade c )
Il caso a ) è immediato: chiediamoci quando il numeratore è pari a zero, ovvero quando $N(x)=0$.
Al variare di x, il numeratore e i denominatore possono avere segni concordanti/discordanti. A noi interessano le concordanze, pertanto chiediamoci quando entrambi sono positivi, ovvero $N(x), D(x)>0$ e simultaneamente sapremo anche quando sono entrambi negativi.
Risolvendo le due disequazioni otteniamo gli intervalli per cui, rispettivamente, entrambi il numeratore e il denominatore sono positivi/negativi. Ma a noi interessa trovare gli intervalli comuni per cui la frazione è positiva, pertanto intersechiamo le soluzioni e troviamo questi intervalli.
Nota che nessuno può impedirti di studiare direttamente il caso c ), ovvero quando $N(x)<0, D(x)>0$ e una volta trovati gli intervalli comuni di discordanza ...gli escludi dall'asse reale.
Ciò che stiamo facendo dipende solo e unicamente dalla domanda che ci poniamo ovvero $(N(x))/(D(x))?0$ dove al posto del punto interrogativo possiamo mettere $> < >= <=$
Per esempio, se $? = >$ allora dobbiamo rispondere solo alla casistica b )...sic et simpliciter.
Caro Bokonon, hai assolutamente ragione; sono il primo a dirlo. Non sai quanto mi fischiano le orecchie quando sento interrogazioni in cui gli studenti ripetono in maniera scrupolosissima ciò che è scritto sul libro. Credo proprio che la scuola italiana, inculcando negli studenti la concezione secondo cui si studia esclusivamente in vista delle verifiche, faccia più male che bene.
A mia discolpa posso però dire, in questo caso, che sto preparando da solo il TOLC e dunque non ho nessuno che mi possa fornire spiegazioni. Invero, una persona ci sarebbe: la mia professoressa, una persona meravigliosa e sempre disponibile, ma che, purtroppo, a parer mio, non spiega in maniera comprensibile (auspico di non ricevere nuovamente attacchi per quanto riguarda ciò: è un fatto e non deriva in alcun modo da astio personale, anzi; è una persona gentilissima). Oltretutto, non so se sia mera suggestione, ma credo anche che influisca il fatto che mi sono da sempre accostato maggiormente alle discipline umanistiche, sviluppando forse un modo di pensare diverso da quello matematico (eccetto forse per quanto riguarda la filosofia, che credo sia affine alla matematica dal punto di vista del ragionamento).
Ti ringrazio per la spiegazione! Dunque, in definitiva, quando si ha $(N(x))/(D(x))≥0$ bisogna sì porre il numeratore maggiore o uguale a 0, poiché ci interessa sapere anche il caso a). Se ciò è corretto (spero di aver capito bene), come mai entrambi i manuali che ho consultato (Bergamini/Sasso) pongono il numeratore strettamente maggiore di 0?
A mia discolpa posso però dire, in questo caso, che sto preparando da solo il TOLC e dunque non ho nessuno che mi possa fornire spiegazioni. Invero, una persona ci sarebbe: la mia professoressa, una persona meravigliosa e sempre disponibile, ma che, purtroppo, a parer mio, non spiega in maniera comprensibile (auspico di non ricevere nuovamente attacchi per quanto riguarda ciò: è un fatto e non deriva in alcun modo da astio personale, anzi; è una persona gentilissima). Oltretutto, non so se sia mera suggestione, ma credo anche che influisca il fatto che mi sono da sempre accostato maggiormente alle discipline umanistiche, sviluppando forse un modo di pensare diverso da quello matematico (eccetto forse per quanto riguarda la filosofia, che credo sia affine alla matematica dal punto di vista del ragionamento).
Ti ringrazio per la spiegazione! Dunque, in definitiva, quando si ha $(N(x))/(D(x))≥0$ bisogna sì porre il numeratore maggiore o uguale a 0, poiché ci interessa sapere anche il caso a). Se ciò è corretto (spero di aver capito bene), come mai entrambi i manuali che ho consultato (Bergamini/Sasso) pongono il numeratore strettamente maggiore di 0?
"Ema2003":
Ti ringrazio per la spiegazione! Dunque, in definitiva, quando si ha $(N(x))/(D(x))≥0$ bisogna sì porre il numeratore maggiore o uguale a 0, poiché ci interessa sapere anche il caso a).
E' corretto
"Ema2003":
Se ciò è corretto (spero di aver capito bene), come mai entrambi i manuali che ho consultato (Bergamini/Sasso) pongono il numeratore strettamente maggiore di 0?
Sicuro che non sia il denominatore?
Alla tua domanda potrebbe rispondere @melia
Il Bergamini inizia parlando in generale, ma poi risolve solo esempi con $ (N(x))/(D(x))>0 $ e $ (N(x))/(D(x))<0 $. Anche nel riassunto a fine capitolo tratta solo questi casi.
Il Sasso, invece, davanti a disequazioni del tipo $ (N(x))/(D(x))≥0 $ e $ (N(x))/(D(x))<=0 $, consiglia di risovere separatamente i casi $ (N(x))/(D(x))>0 $ o $ (N(x))/(D(x))<0 $ dal caso $ (N(x))/(D(x))=0 $, per poi unire le soluzioni. Credo che lo faccia perché l'argomento è inserito nel testo di prima, dove gli studenti sono guidati a fare autonomamente delle deduzioni che permettano una evoluzione personale del metodo risolutivo.
Il Sasso, invece, davanti a disequazioni del tipo $ (N(x))/(D(x))≥0 $ e $ (N(x))/(D(x))<=0 $, consiglia di risovere separatamente i casi $ (N(x))/(D(x))>0 $ o $ (N(x))/(D(x))<0 $ dal caso $ (N(x))/(D(x))=0 $, per poi unire le soluzioni. Credo che lo faccia perché l'argomento è inserito nel testo di prima, dove gli studenti sono guidati a fare autonomamente delle deduzioni che permettano una evoluzione personale del metodo risolutivo.
Volendo essere pignoli, il caso con $=$ non è una disequazione 
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