Disequazioni esponenziali (I° grado)
Buongiorno a tutti, non riesco a risolvere queste disequazioni esponenziali di primo grado; niente di complicato, ma ho come l'impressione di non aver ben compreso il meccanismo risolutivo.
1) $ 5^x - 4 ⋅ 3^(x+1) <= 2 ⋅ 3^x - 5^(x+1) $
2) $ (3^x ⋅ 5)/(2^(x-1)] <= 10^x $
Per esempio, nella prima, arrivo fino a:
$ 5^x - 2^2 ⋅ 3^x ⋅ 3^1 <= 2 ⋅ 3^x - 5^x ⋅ 5^1 $
Ma non riesco a capire in che modo posso raccogliere. Intuisco che il risultato possa essere espresso in forma logaritmica, ma non riesco proprio ad arrivarci.
Grazie mille!
[xdom="Martino"]Spostato in Secondaria di secondo grado.[/xdom]
1) $ 5^x - 4 ⋅ 3^(x+1) <= 2 ⋅ 3^x - 5^(x+1) $
2) $ (3^x ⋅ 5)/(2^(x-1)] <= 10^x $
Per esempio, nella prima, arrivo fino a:
$ 5^x - 2^2 ⋅ 3^x ⋅ 3^1 <= 2 ⋅ 3^x - 5^x ⋅ 5^1 $
Ma non riesco a capire in che modo posso raccogliere. Intuisco che il risultato possa essere espresso in forma logaritmica, ma non riesco proprio ad arrivarci.
Grazie mille!
[xdom="Martino"]Spostato in Secondaria di secondo grado.[/xdom]
Risposte
Ciao @erroreconcettuale.
In realtà il meccanismo risolutivo - chiamiamolo così - una volta acquisito resta molto semplice da ricordare e applicare.
I cardini fondamentali stanno nel ricordare che:
- moltiplicando o dividendo ambo i membri di una disequazione per una quantità positiva (strettamente positiva nel caso di esponenziali), non ci sono problemi di cambio di verso della disequazione stessa;
- esistono alcune proprietà specifiche degli esponenziali che, alla fin fine, sono proprietà delle potenze.
A tal proposito, ne ricordo due:
$a^x \cdot b^x = (ab)^x$
$a^(x+y) = a^x \cdot a^y$
Per questo tipo di esercizi, lo schema risolutivo prevede generalmente di mettere tutti gli esponenziali in uno dei due membri e i termini noti nell'altro, avendo cura di applicare le proprietà di cui sopra. Oppure nel caso di più esponenziali diversi, dividerli tra i due membri e rapportarsi al caso precedente dividendo entrambi i membri per uno dei due.
Infine si trova il valore della $x$.
Bene, forse non ci hai capito niente, riprovo.
Ti faccio un esempio con la prima disequazione
nella prima arrivi, correttamente, qui
a questo punto puoi mettere tutti i termini con il $5^x$ da una parte e quelli con il $3^x$ dall'altra
$5^x+5^1 \cdot 5^x \le 2^2 \cdot 3^x \cdot 3 + 2\cdot 3^x$
ovviamente compattando la scrittura con qualche passaggio di "simil" calcolo polinomiale (puoi pensare $5^x = a$, $3^x = b$)
$6 \cdot 5^x \le 14 cdot 3^x$ da cui $6 \cdot (5^x/3^x) \le 14$ quindi $(5/3)^x \le 7/3$... praticamente risolta, ma non sapevo come darti l'idea del metodo con un esempio pratico.
Il punto è semplice, quando hai disequazioni di questo tipo, fai appello alle proprietà delle potenze prima di tentare altre strade per vedere se in qualche modo riesci a isolare tutti gli esponenziali in un membro della disequazione.
Tra l'altro generalmente non sono molto ferrato con i calcoli quindi "metodo ok", ma non fidarti troppo del resto.
In realtà il meccanismo risolutivo - chiamiamolo così - una volta acquisito resta molto semplice da ricordare e applicare.
I cardini fondamentali stanno nel ricordare che:
- moltiplicando o dividendo ambo i membri di una disequazione per una quantità positiva (strettamente positiva nel caso di esponenziali), non ci sono problemi di cambio di verso della disequazione stessa;
- esistono alcune proprietà specifiche degli esponenziali che, alla fin fine, sono proprietà delle potenze.
A tal proposito, ne ricordo due:
$a^x \cdot b^x = (ab)^x$
$a^(x+y) = a^x \cdot a^y$
Per questo tipo di esercizi, lo schema risolutivo prevede generalmente di mettere tutti gli esponenziali in uno dei due membri e i termini noti nell'altro, avendo cura di applicare le proprietà di cui sopra. Oppure nel caso di più esponenziali diversi, dividerli tra i due membri e rapportarsi al caso precedente dividendo entrambi i membri per uno dei due.
Infine si trova il valore della $x$.
Bene, forse non ci hai capito niente, riprovo.
Ti faccio un esempio con la prima disequazione
"erroreconcettuale":
ho come l'impressione di non aver ben compreso il meccanismo risolutivo.
1) $ 5^x - 4 ⋅ 3^(x+1) <= 2 ⋅ 3^x - 5^(x+1) $
nella prima arrivi, correttamente, qui
"erroreconcettuale":
$ 5^x - 2^2 ⋅ 3^x ⋅ 3^1 <= 2 ⋅ 3^x - 5^x ⋅ 5^1 $
a questo punto puoi mettere tutti i termini con il $5^x$ da una parte e quelli con il $3^x$ dall'altra
$5^x+5^1 \cdot 5^x \le 2^2 \cdot 3^x \cdot 3 + 2\cdot 3^x$
ovviamente compattando la scrittura con qualche passaggio di "simil" calcolo polinomiale (puoi pensare $5^x = a$, $3^x = b$)
$6 \cdot 5^x \le 14 cdot 3^x$ da cui $6 \cdot (5^x/3^x) \le 14$ quindi $(5/3)^x \le 7/3$... praticamente risolta, ma non sapevo come darti l'idea del metodo con un esempio pratico.
Il punto è semplice, quando hai disequazioni di questo tipo, fai appello alle proprietà delle potenze prima di tentare altre strade per vedere se in qualche modo riesci a isolare tutti gli esponenziali in un membro della disequazione.
Tra l'altro generalmente non sono molto ferrato con i calcoli quindi "metodo ok", ma non fidarti troppo del resto.
Grazie mille!!! Presento però ancora difficoltà verso la fine.
Per esempio,
$ 1/4 ⋅ 2^x > 5^(x-2) $
e, risolvendo:
$ 1/2^2 ⋅ 2^x > 5^x/5^2 $
$ 2^-2⋅2^x > 5^-2⋅5^x $
$ 2^x/5^x > 4/25 $
$ (2/5)^x > (2/5)^2 $ $ x > 2 $
Ok l'ho risolta scrivendola qui.
Grazie comunque
Per esempio,
$ 1/4 ⋅ 2^x > 5^(x-2) $
e, risolvendo:
$ 1/2^2 ⋅ 2^x > 5^x/5^2 $
$ 2^-2⋅2^x > 5^-2⋅5^x $
$ 2^x/5^x > 4/25 $
$ (2/5)^x > (2/5)^2 $ $ x > 2 $
Ok l'ho risolta scrivendola qui.
Grazie comunque
Di niente.
Ho visto che quindi hai risolto, buon pomeriggio e buon proseguimento con gli esercizi.
Ho visto che quindi hai risolto, buon pomeriggio e buon proseguimento con gli esercizi.
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