Disequazioni esponenziali...
Ci sono delle disequazioni esponenziali che non ricordo come vadano risolte.
$3^x>2^x+1
Cosa dovrei fare?!
$3^x>2^x+1
Cosa dovrei fare?!
Risposte
Ho paura che non si possa determinare una soluzione in forma chiusa...
Se disegni i grafici di $3^x$ e $2^x+1$ non faticherai ad accorgerti che la disequazione è soddisfatta per $x>1$.
io farei cosi:
$3^x-1>2^x$
divido tutto per $2^x$
$3^x/2^x-1/2^x>1$
porto il $2^x$ al numeratore
$3^x*2^-x - 2^-x > 1$
metto in evidenza $2^-x$
$2^-x(3^x-1)>1$
applico la funzione $log_(2)x$ ai 2 membri (è iniettiva e quindi la posso applicare)
$-x + log_(2)(3^x-1)>0$
divido tutto per $log_(2)(3^x-1)$ e sposto $1$ al secondo membro ed ottengo
$(-x)/(log_(2)(3^x-1))> -1$
che è equivalente a
${(-x > -1), (log_(2)(3^x-1) > -1):}$
a questo punto non voglio toglierti il gusto di fartela tutta, però sei vicinissimo alla soluzione, se non sei in grado di continuare me lo dici..
Mega-X
$3^x-1>2^x$
divido tutto per $2^x$
$3^x/2^x-1/2^x>1$
porto il $2^x$ al numeratore
$3^x*2^-x - 2^-x > 1$
metto in evidenza $2^-x$
$2^-x(3^x-1)>1$
applico la funzione $log_(2)x$ ai 2 membri (è iniettiva e quindi la posso applicare)
$-x + log_(2)(3^x-1)>0$
divido tutto per $log_(2)(3^x-1)$ e sposto $1$ al secondo membro ed ottengo
$(-x)/(log_(2)(3^x-1))> -1$
che è equivalente a
${(-x > -1), (log_(2)(3^x-1) > -1):}$
a questo punto non voglio toglierti il gusto di fartela tutta, però sei vicinissimo alla soluzione, se non sei in grado di continuare me lo dici..
Mega-X
"elgiovo":
Se disegni i grafici di $3^x$ e $2^x+1$ non faticherai ad accorgerti che la disequazione è soddisfatta per $x>1$.
Azz, so' proprio fuso...
@ Mega-X: fatica sprecata.
hmm magari non poteva usare un metodo grafico.. 
"Mega-X":
io farei cosi:
$3^x-1>2^x$
divido tutto per $2^x$
$3^x/2^x-1/2^x>1$
porto il $2^x$ al numeratore
$3^x*2^-x - 2^-x > 1$
metto in evidenza $2^-x$
$2^-x(3^x-1)>1$
applico la funzione $log_(2)x$ ai 2 membri (è iniettiva e quindi la posso applicare)
$-x + log_(2)(3^x-1)>0$
divido tutto per $log_(2)(3^x-1)$ e sposto $1$ al secondo membro ed ottengo
$(-x)/(log_(2)(3^x-1))>-1$
che è equivalente a
${(-x > -1), (log_(2)(3^x-1) > -1):}$
a questo punto non voglio toglierti il gusto di fartela tutta, però sei vicinissimo alla soluzione, se non sei in grado di continuare me lo dici..
Mega-X
per dividere per $log_(2)(3^x-1)$ devi essere sicuro che è sempre positiva, se no la disequazione cambia verso... questo logaritmo nn è sempre positivo, quindi non puoi dividere così liberamente
Non m'interessava la soluzione, bensí il metodo.
Ho perso il libro (una mia compagna se l'è portato a casa per sbaglio) e domani ho compito...
Ricordo che c'era un metodo abbastanza banale, basato sulla definizione di logaritmo, per risolvere equazioni del tipo
$3^x=2^x+5$
(Qui il risultato ovviamente è 2, il problema è ricavarlo senz'andar a tentativi)
Era banale, ma non riesco a ricordarlo. Ricordo che mi aveva lasciato perplesso inizialmente, e me ne ero convinto solo dopo averlo verificato. Il problema è che lo ho dimenticato...
Scusate, era una equazione, non una disequazione
Ho perso il libro (una mia compagna se l'è portato a casa per sbaglio) e domani ho compito...
Ricordo che c'era un metodo abbastanza banale, basato sulla definizione di logaritmo, per risolvere equazioni del tipo
$3^x=2^x+5$
(Qui il risultato ovviamente è 2, il problema è ricavarlo senz'andar a tentativi)
Era banale, ma non riesco a ricordarlo. Ricordo che mi aveva lasciato perplesso inizialmente, e me ne ero convinto solo dopo averlo verificato. Il problema è che lo ho dimenticato...
Scusate, era una equazione, non una disequazione
"Princeps":
Non m'interessava la soluzione, bensí il metodo.
Ho perso il libro (una mia compagna se l'è portato a casa per sbaglio) e domani ho compito...
Ricordo che c'era un metodo abbastanza banale, basato sulla definizione di logaritmo, per risolvere equazioni del tipo
$3^x=2^x+5$
(Qui il risultato ovviamente è 2, il problema è ricavarlo senz'andar a tentativi)
Era banale, ma non riesco a ricordarlo. Ricordo che mi aveva lasciato perplesso inizialmente, e me ne ero convinto solo dopo averlo verificato. Il problema è che lo ho dimenticato...
Scusate, era una equazione, non una disequazione
In effetti un metodo può essere risolverla graficamente, ma ricordavo ci fosse un metodo algebrico assai piú semplice.
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaahhh..
"Mega-X":
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaahhh..
La compagna penso la scorticherò viva, visto che per due giorni mi ha assicurato che il libro non lo aveva lei. Per sapere il resto della storia dovete acquistare Donna Moderna
.Un'idea mi è venuta:
Poiché $a^(log_ab)=b$
$3^x=2^(log_(2)3^x$
A quel punto potrei sostituire a $2^x$ una variabile e risolvere...
$a^(log_ab)=b$
Dove è il problema?
Dove è il problema?
"blackdie":
$a^(log_ab)=b$
Dove è il problema?
Nella mia incapacità di usare mathtml?
Non sapevo ci fosse una scrittura specifica per gl'indici dei logaritmi, correggo sopra
"fu^2":
[quote="Mega-X"]mio quote
per dividere per $log_(2)(3^x-1)$ devi essere sicuro che è sempre positiva, se no la disequazione cambia verso... questo logaritmo nn è sempre positivo, quindi non puoi dividere così liberamente[/quote]
azz mi sfuggono sempre questi particolari che sembrano scemi ma che sconvolgono un mucchio di cose..
"Mega-X":
[quote="fu^2"][quote="Mega-X"]mio quote
per dividere per $log_(2)(3^x-1)$ devi essere sicuro che è sempre positiva, se no la disequazione cambia verso... questo logaritmo nn è sempre positivo, quindi non puoi dividere così liberamente[/quote]
azz mi sfuggono sempre questi particolari che sembrano scemi ma che sconvolgono un mucchio di cose..
[/quote]Bah, lasciamo perdere.
Se mi capitasse cotanta richiesta, inizierò la risoluzione aggiungendo "Lascio al lettore l'opportunità di allenare la sua mente svolgendo i semplici calcoli"
.Domani controllerò sul libro.
Ma sono banali, chiaramente, appunto perché $3^x>2^x+1$, $\forall x > 1$. Un po' più interessante è il discorso se devi trovare tutte le soluzioni intere di $3^n=2^m+1$.
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