Disequazioni esponenziali (124043)

[drynnn]

Ciao a tutti! :) Potreste aiutarmi correggendo queste disequazioni esponenziali per favore?
a)5^4-x-(1/5)^radx-1 =0 x>= +1

5^4-x-5^-radx-1=0 --> x>=1 -4+x>=0 --> x>=4
v
-4+x x=0 --> 9-rad13/2 x>=-2 2x>=0 --> x>=0
v
2x x=0 --> -1+-rad25/-8 --> -1/2 6+-2/2 --> 2

[Studente Anonimo]

Noto l'impegno con cui hai scritto il tutto, però se non si scrive in LaTeX difficilmente si può essere capiti a fondo. Cliccando su "Cita" in questa risposta puoi vedere e quindi in futuro imitare il codice.


a.

[math]
\begin{aligned}

5^{4 - x} - \left(\frac{1}{5}\right)^{\sqrt{x - 1}} \le 0 \;

& \Leftrightarrow \; 5^{4 - x} \le 5^{-\sqrt{x - 1}} \\

& \Leftrightarrow \; 4 - x \le -\sqrt{x - 1} \\

& \Leftrightarrow \; \sqrt{x - 1} \le x - 4 \\

& \Leftrightarrow \; \begin{cases}
x - 4 > 0 \\
x - 1 \ge 0 \\
x - 1 \le (x - 4)^2
\end{cases} \\

& \Leftrightarrow \; \dots

\end{aligned}
[/math]

[math]\left\{ x \ge \frac{9 + \sqrt{13}}{2} \right\}[/math]

b.

[math]\left(e^{2x} - e^{\sqrt{x + 2}}\right)
\left(2^{1 - x} - 2^x\right) \le 0 \\[/math]

C.E.:

[math]x + 2 \ge 0 \;
\Leftrightarrow \; x \ge - 2 \\[/math]

.

[math]
\begin{aligned}

(i) \; \; \; e^{2x} - e^{\sqrt{x + 2}} \ge 0 \;

& \Leftrightarrow \; e^{2x} \ge e^{\sqrt{x + 2}} \\

& \Leftrightarrow \; 2x \ge \sqrt{x + 2} \\

& \Leftrightarrow \; \sqrt{x + 2} \le 2x \\

& \Leftrightarrow \; \begin{cases}
2x > 0 \\
x + 2 \ge 0 \\
x + 2 \le (2x)^2
\end{cases} \\

& \Leftrightarrow \; \dots

\end{aligned}
\\[/math]

[math]
\begin{aligned}

(ii) \; \; \; 2^{1 - x} - 2^x \ge 0 \;

& \Leftrightarrow \; 2^{1 - x} \ge 2^x \\

& \Leftrightarrow \; 1 - x \ge x \\

& \Leftrightarrow \; x \le \frac{1}{2}

\end{aligned}
\\[/math]

Dunque occorre fare il prodotto dei segni delle due soluzioni (tenendo ben a mente di non considerare gli intervalli esclusi dalle condizioni di esistenza) e selezionare gli intervalli in
cui risulta minore o uguale a zero.

[math]\left\{ -2 \le x \le \frac{1}{2} \, \vee \,
x \ge \frac{1 + \sqrt{33}}{8} \right\}[/math]

c.

[math]
\small
\begin{aligned}

\left(2^{2x} - 3 \cdot 2^{x + 1} +
8\right)\left(2^x - 8\right) \ge 0 \;

& \Leftrightarrow \; \left[\left(2^{x}\right)^2 - 4 \cdot
2^{x} - 2 \cdot 2^{x} + 8\right]\left(2^x - 8\right) \ge 0 \\

& \Leftrightarrow \; \left[2^x\left(2^x - 4\right) -
2\left(2^x - 4\right)\right]\left(2^x - 8\right) \ge 0 \\

& \Leftrightarrow \; \left(2^x - 2\right)
\left(2^x - 4\right)\left(2^x - 8\right) \ge 0

\end{aligned}
[/math]

[math]
\begin{aligned}

(i) \; \; \; 2^x - 2 \ge 0 \;

& \Leftrightarrow \; 2^x \ge 2^1 \\

& \Leftrightarrow \; x \ge 1

\end{aligned}
\\[/math]

[math]
\begin{aligned}

(ii) \; \; \; 2^x - 4 \ge 0 \;

& \Leftrightarrow \; 2^x \ge 2^2 \\

& \Leftrightarrow \; x \ge 2

\end{aligned}
\\[/math]

[math]
\begin{aligned}

(iii) \; \; \; 2^x - 8 \ge 0 \;

& \Leftrightarrow \; 2^x \ge 2^3 \\

& \Leftrightarrow \; x \ge 3

\end{aligned}
\\[/math]

Dunque occorre fare il prodotto dei segni delle tre soluzioni e selezionare gli intervalli in
cui risulta maggiore o uguale a zero.

[math]\left\{ 1 \le x \le 2 \,
\vee \, x \ge 3 \right\}[/math]

Per altri dubbi non esitare a chiedere. ;)

[drynnn]

Mi dispiace è vero, non si capisce molto...ho ancora due domande, perchè nel punto b ha studiato tutto maggiore uguale a zero? E nel punto c come ha fatto ad ottenere questo

[math]-4*2^{x}-2*2^{x}[/math]

nel primo passaggio? Grazie :hi

[Studente Anonimo]

# drynnn :
Perché nel punto b ha studiato tutto maggiore uguale a zero?

Quella è una tecnica non consolidata, di più! Nello studio delle disequazioni, una volta fattorizzato il membro sinistro (e a membro destro si ha zero), è bene studiare la positività di tutti i fattori, dunque farne il prodotto dei segni ed infine selezionare gli intervalli che verificano la disequazione di partenza. Faccio un esempio semplice semplice per mostrarti cosa intendo.

[math](x + 1)(2 - x) < 0 \\[/math]

[math]
\begin{aligned}
& x + 1 \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x \ge -1 \; \; -\,-\,[-1]\,+\,+\,+\,+\,+ \\
& 2 - x \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x \le 2 \, \; \; \; \; +\,+\,+\,+\,+\,+\,[2]\,-\,- \\
& ***************************** \\
& /////////////////// \; - \, - \; [-1] \, + \, + \; \; [2] \, - \, -
\end{aligned}\\
[/math]

Dunque selezioniamo gli intervalli negativi, ottenendo:

[math]Soluzione = \left\{ x \in \mathbb{R} : x < -1 \, \vee \, x > 2 \right\} \\[/math]

.

# drynnn :
Nl punto c come ha fatto ad ottenere questo

[math]-4*2^{x}-2*2^{x}[/math]

nel primo passaggio?

Trattandosi di un trinomio notevole, si ha

[math]t^2 - 6t + 8 = 1t^2 + at + bt + 8 \\[/math]

con

[math]a + b = -6[/math]

e

[math]a\cdot b = 1 \cdot 8[/math]

da cui

[math]a = -4[/math]

e

[math]b = -2\\[/math]

.

Naturalmente sopra si ha

[math]t = 2^x[/math]

ma ciò non cambia le cose. :)

[drynnn]

Ops, l'avevo dimenticato, durante le vacanze le mie conoscenze si dissolvono :D grazie mille ora è tutto chiarissimo!! :hi