Disequazioni e equazioni.
Sembrerà strano, ma sono alla ricerca di un metodo di risoluzione "generale" delle disequazioni di qualsiasi tipo. Di una specie di tabella, di una specie di elenco di procedure standard da applicare a tutti i tipi di disequazioni, indipendentemente dal fatto che siano irrazionali, esponenziali, logaritmiche, trascendenti, o tipo un'equazione che ho trovato ieri, molto semplice apparentemente. In sostanza, un po' per negligenza mia, un po' per un metodo che non ha mai privilegiato la deduzione, ma solo l'induzione (pochi limiti base, che non risolvono il problema in generale, perchè ancora ci sono disequazioni che sorprendono, ogni tanto); in sostanza, per molti limiti, conosco la regola di risoluzione senza però poterla applicare in davvero tutti i casi.
Nonostante sia all'università, nonostante non sia stato grvaato da debiti formativi (erroneamente ho pensato di non dover comunque frequentare i corsi integrativi, cosa che avrei comunque fatto se gli orari non fossero stati così mostruosi), adesso mi ritrovo con quest'esigenza.
La domanda potrebbe sembrare strana, per non dire incomprensibile. Ma nasce dal fatto che sui libri di analisi di livello universitario (almeno sul mio libro, il Fiorenza), c'è questa specie di elenco di metodi, generali, che prescindono dal caso particolare, che cominciano a dare una specie di "base solida" capace di far lavorare la mente con maggiore serenità. Senza di essa mi sembra sempre di essere in confusione, anche con disequazioni facili che riesco a risolvere normalmente, quando non ci penso.
Ci sono due punti di quel testo che volevo discutere, perchè non riesco a capire ciò che leggo su quel testo.
1) Data una disequazione :
$f_1(x) < f_2(x)$, come poter passare ad una disequazione $g(f_1(x)) < g(f_2(x))$, con $g$ strettamente crescente, cioè con quale studio preliminare è possibile fare cio?
2) Come è possibile risolvere un' equazione del tipo:
$arccosh^2(4x -1) + arctg^4(4arccosx-\pi)^(-\pi) + 2 - sen x = 0$.
Che tipo di equazione è, come va risolta? Va ricondotta, tramite identità eventuali, ad un'equazione trigonometrica, oppure si può risolvere solo graficamente?
P.S.- Scusate se il post è lungo o irritante o fuori luogo. Ho provato a giustificare la mia richiesta.
Nonostante sia all'università, nonostante non sia stato grvaato da debiti formativi (erroneamente ho pensato di non dover comunque frequentare i corsi integrativi, cosa che avrei comunque fatto se gli orari non fossero stati così mostruosi), adesso mi ritrovo con quest'esigenza.
La domanda potrebbe sembrare strana, per non dire incomprensibile. Ma nasce dal fatto che sui libri di analisi di livello universitario (almeno sul mio libro, il Fiorenza), c'è questa specie di elenco di metodi, generali, che prescindono dal caso particolare, che cominciano a dare una specie di "base solida" capace di far lavorare la mente con maggiore serenità. Senza di essa mi sembra sempre di essere in confusione, anche con disequazioni facili che riesco a risolvere normalmente, quando non ci penso.
Ci sono due punti di quel testo che volevo discutere, perchè non riesco a capire ciò che leggo su quel testo.
1) Data una disequazione :
$f_1(x) < f_2(x)$, come poter passare ad una disequazione $g(f_1(x)) < g(f_2(x))$, con $g$ strettamente crescente, cioè con quale studio preliminare è possibile fare cio?
2) Come è possibile risolvere un' equazione del tipo:
$arccosh^2(4x -1) + arctg^4(4arccosx-\pi)^(-\pi) + 2 - sen x = 0$.
Che tipo di equazione è, come va risolta? Va ricondotta, tramite identità eventuali, ad un'equazione trigonometrica, oppure si può risolvere solo graficamente?
P.S.- Scusate se il post è lungo o irritante o fuori luogo. Ho provato a giustificare la mia richiesta.
Risposte
"turtle87":
1) Data una disequazione :
$f_1(x) < f_2(x)$, come poter passare ad una disequazione $g(f_1(x)) < g(f_2(x))$, con $g$ strettamente crescente, cioè con quale studio preliminare è possibile fare cio?
con le condizioni di esistenza di $f_1(x)$, $ f_2(x)$, $g(f_1(x))$ , $ g(f_2(x))$
"turtle87":
2) Come è possibile risolvere un' equazione del tipo: $arccosh^2(4x -1) + arctg^4(4arccosx-\pi)^(-\pi) + 2 - sen x = 0$.
Che tipo di equazione è, come va risolta? Va ricondotta, tramite identità eventuali, ad un'equazione trigonometrica, oppure si può risolvere solo graficamente?
Mi pare proprio che non ci siano possibilità per una risoluzione algebrica, propendo per quella grafica.
Proviamo a risolvere una disequazione allora, con questo metodo e con quello che insegnano al liceo:
$sqrt(x^2 - 2x + 1) > x- 2$
Con il metodo che tu citi (sempre che l'abbia capito fino in fondo), la disequazione diventa il sistema:
${(x^2 - 2x + 1 >= 0); (x^2 - 2x + 1 > x^2 - 4x + 4)}$, la cui soluzione, salvo errori di calcolo, è: $x < 3/2$;
Con il metodo che insegnano al liceo, e cioè, il seguente:
Due sistemi:
${(x-2 < 0) ; (x^2 - 2x + 1 >= 0)} U {(x - 2 >= 0) ; (x^2 - 2x + 1 > x^2 - 4x + 4)}$, la cui soluzione è $x < 2 V x>3/2$.
L'unico dubbio potrebbe essere l'inapplicabilità della proprietà alla situazione presente, dovuta al fatto che la funzione $g$, cioè la funzione $g(x) = x^2$, non è crescente in tutto il suo dominio; anche se, nella restrizione che coincide con il dominio della funzione radice, lo è.
P.S. - Se mi trovo in una situazione come quella rappresentata dalla funzione formalmente abbastanza complessa che ho messo in quell'equazione, legata magari allo studio della funzione, come faccio, senza conoscere i grafici a servirmi di quest'equazione per trovare proprio il grafico che mi servirebbe a priori per risolvere l'equazione?
$sqrt(x^2 - 2x + 1) > x- 2$
Con il metodo che tu citi (sempre che l'abbia capito fino in fondo), la disequazione diventa il sistema:
${(x^2 - 2x + 1 >= 0); (x^2 - 2x + 1 > x^2 - 4x + 4)}$, la cui soluzione, salvo errori di calcolo, è: $x < 3/2$;
Con il metodo che insegnano al liceo, e cioè, il seguente:
Due sistemi:
${(x-2 < 0) ; (x^2 - 2x + 1 >= 0)} U {(x - 2 >= 0) ; (x^2 - 2x + 1 > x^2 - 4x + 4)}$, la cui soluzione è $x < 2 V x>3/2$.
L'unico dubbio potrebbe essere l'inapplicabilità della proprietà alla situazione presente, dovuta al fatto che la funzione $g$, cioè la funzione $g(x) = x^2$, non è crescente in tutto il suo dominio; anche se, nella restrizione che coincide con il dominio della funzione radice, lo è.
P.S. - Se mi trovo in una situazione come quella rappresentata dalla funzione formalmente abbastanza complessa che ho messo in quell'equazione, legata magari allo studio della funzione, come faccio, senza conoscere i grafici a servirmi di quest'equazione per trovare proprio il grafico che mi servirebbe a priori per risolvere l'equazione?
"turtle87":
Proviamo a risolvere una disequazione allora, con questo metodo e con quello che insegnano al liceo:
$sqrt(x^2 - 2x + 1) > x- 2$
Con il metodo che tu citi (sempre che l'abbia capito fino in fondo), la disequazione diventa il sistema:
${(x^2 - 2x + 1 >= 0); (x^2 - 2x + 1 > x^2 - 4x + 4)}$, la cui soluzione, salvo errori di calcolo, è: $x < 3/2$;
Guarda che la potenza quadrata [size=150]non[/size] è una funzione crescente, quindi devi usare il metodo del liceo, anche se nei calcoli che hai svolto ci sono sicuramente degli errori.
"turtle87":
P.S. - Se mi trovo in una situazione come quella rappresentata dalla funzione formalmente abbastanza complessa che ho messo in quell'equazione, legata magari allo studio della funzione, come faccio, senza conoscere i grafici a servirmi di quest'equazione per trovare proprio il grafico che mi servirebbe a priori per risolvere l'equazione?
ma puoi sempre scomporla in funzioni più semplici
ma puoi sempre scomporla in funzioni più semplici
Cioè, quali funzioni?
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