Disequazioni di secondo grado parametriche

[sentra]

sapreste descrivermi passo per passo i passaggi da effettuare nello studio di una disequazione di secondo grado parametrica espressa in forma canonica con coefficiente direttivo del tipo:
kx2 +kx + 5 > 0

inoltre, ci sono variazioni in base alla presenza del parametro anche nel secondo e terzo termine? o la procedura è la stessa

[@melia]

I punti chiave sono
- il segno del primo coefficiente (quello del termine di secondo grado) e
- il segno del discriminante.

Nell'esempio $kx^2+kx+5>0$

bisogna considerare il segno di $k$, quindi $k>0$; $k<0$ e $k=0$

il segno del discriminante $k^2-4*k*5$,
quindi $k^2-20k>0$, cioè $k<0 vv k>20$;
$k^2-20k<0$ cioè $0< k<20$
e $k^2-20k=0$ ovvero $k=0 vv k=20$

Analizzando i dati sull'asse dei $k$ otteniamo 5 zone:

1) $k<0$
2) $k=0$
3) $0 4) $k=20$
5) $k>20$[/list:u:1ty89ee3]

1) Il primo coefficiente è negativo e il discriminante positivo, la disequazione è verificata per valori interni alle soluzioni dell'equazione associata, quindi
$(-k+sqrt(k^2-20k))/(2k) NB $k$ è un numero negativo, quindi il denominatore è negativo e la soluzione con il $+$ è più piccola di quella con il $-$.

2) Il primo coefficiente si annulla, la disequazione si abbassa di grado, anzi, in questo caso diventa una disuguaglianza sempre verificata: $5>0$, sempre vero $AAx in RR$

3) Il primo coefficiente è positivo e il discriminante negativo, la disequazione è sempre verificata $AAx in RR$

4) Il primo coefficiente è positivo e il discriminante si annulla, le soluzioni dell'equazione associata diventano $x_1=x_2=1/2$, la disequazione è verificata $AA x !=1/2$ con $x in RR$

5) Il primo coefficiente è positivo e anche il discriminante è positivo, la disequazione è verificata per valori esterni alle soluzioni dell'equazione associata: $x< (-k-sqrt(k^2-20k))/(2k) vv x>(-k+sqrt(k^2-20k))/(2k)$

[sentra]

mi sai spiegare matematicamente il perché delle 5 zone individuate?

[@melia]

Credevo di essere stata chiara, ma forse non abbastanza.
Come ti ho detto all’inizio i punti chiave sono i cambiamenti di segno e gli zeri del primo coefficiente e del discriminante. Disegna la retta dei $k$ nella quale indicare i valori che interessano. In questo caso lo 0 e il 20. Nella riga sottostante rappresenta il segno del primo coefficiente, ancora una riga sotto il segno del discriminante. Adesso analizza le possibilità.

Le possibili combinazioni di segni e zeri individuano le zone che hanno proprietà diverse.

[sentra]

grazie mille e perdonami per l’incomprensione

[@melia]

Perdonato!
Adesso prova da solo a risolvere un altro esercizio e se ci sono delle difficoltà torna a trovarci.