Disequazioni di secondo grado: esercizi vari
Salve! Vorrei proporvi alcuni esercizi di algebra che mi danno diversi problemi. Riguardano le disequazioni algebriche di 2° grado. Quelle numeriche e quelle frazionarie le so fare tranquillamente, però ho problemi con quelle letterali, ad esempio:
$(a-b)x< -x^2$ arrivo alla forma normale che è $x^2+(a-b)x<0$, e ora io vorrei calcolare e discutere il discriminante dell'equazione associata, ma mi esce $a^2+b^2-2ab-4$, come devo fare ora?
$(a-b)x< -x^2$ arrivo alla forma normale che è $x^2+(a-b)x<0$, e ora io vorrei calcolare e discutere il discriminante dell'equazione associata, ma mi esce $a^2+b^2-2ab-4$, come devo fare ora?
Risposte
Non penso tu sebba calcolare il discriminante: Per trovare le due radici del polinomio è sufficiente raccogliere una $x$. Osserva che non compare il termine noto.
Inoltre quello che hai scritto non è il discriminante !
Inoltre quello che hai scritto non è il discriminante !
Giusto, che stupido! E' $(a-b)^2$. Ma perché non devo calcolarlo? So che di solito per risolvere una disequazione letterale bisogna discutere il discriminante, se è positivo, nullo o negativo. In questo caso io direi:
1. $a=b rArr Delta=0 rArr x_(1,2)=0$, e quindi la disequazione è impossibile perché con delta nullo il trinomio mantiene sempre il segno del primo coefficiente.
2. $a!=b rArr Delta>0 rArr x_1=0 ^^ x_2 =b-a$. Ora è difficile
2.a. Se $b-a<0 hArr b
E' giusto come ragionamento o ho sbagliato tutto?
1. $a=b rArr Delta=0 rArr x_(1,2)=0$, e quindi la disequazione è impossibile perché con delta nullo il trinomio mantiene sempre il segno del primo coefficiente.
2. $a!=b rArr Delta>0 rArr x_1=0 ^^ x_2 =b-a$. Ora è difficile
2.a. Se $b-a<0 hArr b
E' giusto come ragionamento o ho sbagliato tutto?
In genere fai la discussione del discriminante per determinare se esistono o meno radici reali della tua equazione.
In questo caso possiamo scrivere: $x(x+a-b)<0$ e sappiamo trovare immediatamente le soluzioni dell'equazione $x(x+a-b)=0$.
A quel punto si procede come per una normale disequazione di secondo grado, con il piccolo accorgimento di studiare in funzione dei parametri quando una radice è maggiore dell'altra.
In questo caso possiamo scrivere: $x(x+a-b)<0$ e sappiamo trovare immediatamente le soluzioni dell'equazione $x(x+a-b)=0$.
A quel punto si procede come per una normale disequazione di secondo grado, con il piccolo accorgimento di studiare in funzione dei parametri quando una radice è maggiore dell'altra.
Ok, ho capito, ma se ho questa disequazione: $ax^2-(a^2+1)x+a<0$, $Delta=(a^2-1)^2$. Esistono sempre zeri del trinomio associato alla disequazione.
Ora: il delta è nullo se $a=+-1$, perfetto, devo calcolare lo zero del trinomio per risolvere la disequazione e mi esce $x_(1,2)=(a^2+1)/(2a)$, ma non so cosa fare ora! . Il testo dice che la soluzione della disequazione è $a<-1 rArr x1/a$, $a=-1 rArr x!=-1$, $-1
Ora: il delta è nullo se $a=+-1$, perfetto, devo calcolare lo zero del trinomio per risolvere la disequazione e mi esce $x_(1,2)=(a^2+1)/(2a)$, ma non so cosa fare ora! . Il testo dice che la soluzione della disequazione è $a<-1 rArr x1/a$, $a=-1 rArr x!=-1$, $-1
Nessuno riesce ad aiutarmi?
io non capisco cosa c'entra la prima disequazione che hai scritto nel primo post, con quella del penultimo.
Quando mostri la soluzione, a quale disequazione ti rifersci?
Quando mostri la soluzione, a quale disequazione ti rifersci?
Davanti ad una disequazione di secondo grado si devono considerare
- la numerosità delle soluzioni reali
- il segno del primo coefficiente
- la consegna (> o < di 0)
Nel caso in questione
$ax^2-(a^2+1)x+a<0$,
$Delta=(a^2-1)^2>=0$, trovo le soluzioni $x_1=1/a$ e $x_2=a$, inoltre $Delta=0 <=> a=+-1$, in tali casi $x_1=x_2$
Confrontando il primo coefficiente con la consegna osservo che se $a<0$ devo considerare i valori esterni , mentre se $a>0$ quelli interni.
Per la discussione devo distinguere i casi
$a<-1$, in questo caso il primo coefficiente è negativo $x_21/a$
$a=-1$, qui il trinomio diventa $-x^2-2x-1<0$, verificato $AA x=! -1$
$-1x_1$, quindi $1/aa$
$a=0$, la disequazione si abbassa di grado e diventa $-x<0$ che ha soluzione per $x>0
$0
$a>1$, primo coefficiente positivo, ma $x_2>x_1$, quindi $1/a
- la numerosità delle soluzioni reali
- il segno del primo coefficiente
- la consegna (> o < di 0)
Nel caso in questione
$ax^2-(a^2+1)x+a<0$,
$Delta=(a^2-1)^2>=0$, trovo le soluzioni $x_1=1/a$ e $x_2=a$, inoltre $Delta=0 <=> a=+-1$, in tali casi $x_1=x_2$
Confrontando il primo coefficiente con la consegna osservo che se $a<0$ devo considerare i valori esterni , mentre se $a>0$ quelli interni.
Per la discussione devo distinguere i casi
$a<-1$, in questo caso il primo coefficiente è negativo $x_2
$a=-1$, qui il trinomio diventa $-x^2-2x-1<0$, verificato $AA x=! -1$
$-1
$a=0$, la disequazione si abbassa di grado e diventa $-x<0$ che ha soluzione per $x>0
$0
$a>1$, primo coefficiente positivo, ma $x_2>x_1$, quindi $1/a
O.O Sono difficilissime però le letterali, o sbaglio?
Comunque grazie @melia, utilissima.
Ne posto un'altra di cui non ho le soluzioni (ce l'ha data direttamente la professoressa) e provo a farla. Le voglio capire :S
Comunque grazie @melia, utilissima.
Ne posto un'altra di cui non ho le soluzioni (ce l'ha data direttamente la professoressa) e provo a farla. Le voglio capire :S
D'accordo, aspetto
$(k-1)x^2-9>0$.. un grande respiro e comincio. Allora, $Delta=36(k-1)>=0 hArr k>=1$. Bene, allora
Se $k>1 rArr x_(1,2)=+-3/(sqrt(k-1))$ e quindi vedendo la consegna ho $S= x<-3/(sqrt(k-1)) vv x>3/(sqrt(k-1))$.
Se $k=1$, l'equazione mi diventerebbe $-9>0$ che è una falsità! Quindi saremmo davanti a una disequazione impossibile!
Se $k<1 rArr Delta <0$, il primo coefficiente è negativo quindi per forza di cosa anche qui la disequazione sarebbe impossibile.
Ho sbagliato tutto? Beh qualcosa di giusto ci dovrà pur essere spero
P.S.: per @melia: da quel che ho letto in questo forum ho capito che lei è una docente, posso chiederle se metterebbe mai disequazioni letterali come quella che ha risolto prima nell'ultimo compito scritto di una seconda liceo scientifico?
Se $k>1 rArr x_(1,2)=+-3/(sqrt(k-1))$ e quindi vedendo la consegna ho $S= x<-3/(sqrt(k-1)) vv x>3/(sqrt(k-1))$.
Se $k=1$, l'equazione mi diventerebbe $-9>0$ che è una falsità! Quindi saremmo davanti a una disequazione impossibile!
Se $k<1 rArr Delta <0$, il primo coefficiente è negativo quindi per forza di cosa anche qui la disequazione sarebbe impossibile.
Ho sbagliato tutto? Beh qualcosa di giusto ci dovrà pur essere spero
P.S.: per @melia: da quel che ho letto in questo forum ho capito che lei è una docente, posso chiederle se metterebbe mai disequazioni letterali come quella che ha risolto prima nell'ultimo compito scritto di una seconda liceo scientifico?
Questo che hai appena svolto è corretto.
L'esercizio di prima è quello che si chiama "esercizio completo", nel senso che se sai fare quello allora li sai fare tutti.
Per rispondere alla tua domanda se lo metterei o no in un compito la risposta è ... dipende,
sì se
a) il compito è solo sulle disequazioni di secondo grado;
b) in classe ci sono studenti molto più bravi della media (allora questo esercizio, valutato come uno più semplice, mi serve perchè Pinco e Pallino non siano liberi di suggerire);
no se
a) il compito contiene molti argomenti e questo dovesse essere l'unico esercizio sulle disequazioni parametriche
b) il compito è quello riassuntivo del programma dell'anno scolastico.
Infine dipende dalla classe e dal fatto che nel compito ci siano molti problemi, perché questo più che un semplice esercizio lo eleverei al rango di problema di algebra.
L'esercizio di prima è quello che si chiama "esercizio completo", nel senso che se sai fare quello allora li sai fare tutti.
Per rispondere alla tua domanda se lo metterei o no in un compito la risposta è ... dipende,
sì se
a) il compito è solo sulle disequazioni di secondo grado;
b) in classe ci sono studenti molto più bravi della media (allora questo esercizio, valutato come uno più semplice, mi serve perchè Pinco e Pallino non siano liberi di suggerire);
no se
a) il compito contiene molti argomenti e questo dovesse essere l'unico esercizio sulle disequazioni parametriche
b) il compito è quello riassuntivo del programma dell'anno scolastico.
Infine dipende dalla classe e dal fatto che nel compito ci siano molti problemi, perché questo più che un semplice esercizio lo eleverei al rango di problema di algebra.
Oh ecco che bello, fiùù
La nostra media è sul 8,ci sono solo quattro-cinque "pecore nere" insufficienti e siamo in 31. Il compito che dovremo fare la settimana prossima è solo sulle disequazioni di secondo grado e applicazioni connesse, quindi penso proprio che la nostra prof ci metterà una cosa del genere. A me piacciono tantissimo ma a volte mi escono e a volte no. Comunque ho provato a fare anche questa, non so se si possa definire "esercizio completo": $x^2-x(3b-4)/(b-1)>(3-2b)/(b-1)$. Ho usato due pagine di quaderno, spero che l'abbia fatto giusto almeno ^^
Arrivo a $((b-1)x^2-(3b-4)x)/(b-1)>(3-2b)/(b-1)$ qua sì che devo prendere un respirone, allora:
Se $b-1>0 hArr b>1 rArr (b-1)x^2-(3b-4)x-3+2b>0$. $Delta=(b-2)^2$. $Delta=0hArrb=2$. Bene, ora:
Se $b>1 ^^ b!=2 rArr Delta >0 rArr x_1=(2b-3)/(b-1) ^^ x_2=1$. Ora devo discutere un po' le soluzioni:
Se $(2b-3)/(b-1)>1 hArr b>2$, allora $x_1>x_2$ e le soluzioni appartengono a $S=x<1 vv x>(2b-3)/(b-1)$. pausa... riprendo:
Se $b=2$ allora $x_1=x_2$ e la disequazione diventa $x^2-2x+1>0$, definita nell'insieme $RR-{1}$. poi:
Se $1x_1$ e quindi le soluzioni sono $S= x<(2b-3)/(b-1) vv x>1$. Sto sudando , ma penso non sia finita:
Se $b=1$ la disequazione perde significato perché va contro le C.E.;
Se $b<1$, che succede? mmm.. la disequazione diventa $(b-1)x^2-(3b-4)x-3+2b<0$, stesso discriminante, stessi zeri e quindi $x_2>x_1$ e per concludere la soluzione in questo caso è $S=]-oo;1[ vv ](2b-3)/(b-1); +oo[$. FINE!!!
Sono morto spero sia giusta^^
La nostra media è sul 8,ci sono solo quattro-cinque "pecore nere" insufficienti e siamo in 31. Il compito che dovremo fare la settimana prossima è solo sulle disequazioni di secondo grado e applicazioni connesse, quindi penso proprio che la nostra prof ci metterà una cosa del genere. A me piacciono tantissimo ma a volte mi escono e a volte no. Comunque ho provato a fare anche questa, non so se si possa definire "esercizio completo": $x^2-x(3b-4)/(b-1)>(3-2b)/(b-1)$. Ho usato due pagine di quaderno, spero che l'abbia fatto giusto almeno ^^
Arrivo a $((b-1)x^2-(3b-4)x)/(b-1)>(3-2b)/(b-1)$ qua sì che devo prendere un respirone, allora:
Se $b-1>0 hArr b>1 rArr (b-1)x^2-(3b-4)x-3+2b>0$. $Delta=(b-2)^2$. $Delta=0hArrb=2$. Bene, ora:
Se $b>1 ^^ b!=2 rArr Delta >0 rArr x_1=(2b-3)/(b-1) ^^ x_2=1$. Ora devo discutere un po' le soluzioni:
Se $(2b-3)/(b-1)>1 hArr b>2$, allora $x_1>x_2$ e le soluzioni appartengono a $S=x<1 vv x>(2b-3)/(b-1)$. pausa... riprendo:
Se $b=2$ allora $x_1=x_2$ e la disequazione diventa $x^2-2x+1>0$, definita nell'insieme $RR-{1}$. poi:
Se $1
, ma penso non sia finita:Se $b=1$ la disequazione perde significato perché va contro le C.E.;
Se $b<1$, che succede? mmm.. la disequazione diventa $(b-1)x^2-(3b-4)x-3+2b<0$, stesso discriminante, stessi zeri e quindi $x_2>x_1$ e per concludere la soluzione in questo caso è $S=]-oo;1[ vv ](2b-3)/(b-1); +oo[$. FINE!!!
Sono morto
spero sia giusta^^
Secondo la mia modestissima opinione, penso che l'esercizio sia corretto. Però devi sentire anche l'opinione di @melia o di altri esperti, di loro ti puoi fidare 
Va bene, è giusta.
Che bello, grazie per l'attenzione 
Ho provato a fare anche una letterale fratta dal libro e mi è uscita, mi sembra di aver capito come funzionano! Che soddisfazione
Ora mi devo esercitare con i sistemi di disequazioni letterali, vediamo cosa combino.
Ho provato a fare anche una letterale fratta dal libro e mi è uscita, mi sembra di aver capito come funzionano! Che soddisfazione
Ora mi devo esercitare con i sistemi di disequazioni letterali, vediamo cosa combino.
Una domanda veloce: se ho un trinomio $ax+2beta+c$, posso calcolare $Delta/4$, al posto di $Delta$; se ho invece $ax+4beta+c$, posso calcolare il $Delta/8$? Non so se è una domanda sensata 
Prova a scrivere la formula della soluzione e vedi se funziona o no....
Ok $ax+4beta+c=0$, $Delta/8=(beta)^2-ac/4$ e quindi $x_(1,2)=(-beta+-sqrt(Delta/8))/(a/2)$, e quindi mi conviene lasciar stare giusto?
$Delta/8$? o $Delta/16$?
La storia del $Delta/8$ lasciala perdere.
La storia del $Delta/8$ lasciala perdere.
Mmm se $Delta/4=beta^2-ac rArr Delta/16=beta^2/4-(ac)/4$? E anzi considero $gamma=b/4$ ed è $Delta/16=gamma^2-(ac)/4$? Mi sa che mi sto solo complicando la vita però
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