Disequazioni di secondo grado (28408)
Salve a tutti. Sono un nuovo utente del forum. A breve mi presenterò, ma vi prego prima di aiutarmi. La mia professoressa é stata assente per una settimana e tra pochi giorni avrò il penultimo compito dell'anno. Il concetto sulle disequazioni l'ho, più o meno, capito.
Solo che la prof non ha spiegato quelle più semplici, del tipo x^2 + 49 > 0, dove la "b", ovvero il termine con la x, non c'è, ed é impossibile trovare il delta, e, di conseguenza, trovare il segno.
Come se non bastasse, lei ci ha spiegato il metodo algebrico, mentre il libro usa il metodo della parabola. Non ho quindi neppure l'opportunità di ripetere e provare a imparare col libro...
Un'altro esempio è 16x^2 + 8x. Sembrerò banale, ma se non ho uno schema accanto a me non so come fare. La mia prof preferisce spiegare il metodo diretto, senza concentrarsi sul ragionamento... se possibile, vorrei una spiegazione generale... so di chiedere molto... ma vi prego, aiutatemi.
Solo che la prof non ha spiegato quelle più semplici, del tipo x^2 + 49 > 0, dove la "b", ovvero il termine con la x, non c'è, ed é impossibile trovare il delta, e, di conseguenza, trovare il segno.
Come se non bastasse, lei ci ha spiegato il metodo algebrico, mentre il libro usa il metodo della parabola. Non ho quindi neppure l'opportunità di ripetere e provare a imparare col libro...
Un'altro esempio è 16x^2 + 8x. Sembrerò banale, ma se non ho uno schema accanto a me non so come fare. La mia prof preferisce spiegare il metodo diretto, senza concentrarsi sul ragionamento... se possibile, vorrei una spiegazione generale... so di chiedere molto... ma vi prego, aiutatemi.
Risposte
4(x^2+3)- 11(x-1)(x^2+1)+15/x < (o uguale) -7x^2 + 21x/2
allora per vedere se sono valori interni o esterni non basta calcolare il delta, bisogna vedere aanche il segno della disequazione, questo ll'hai capito vero?
ora ti faccio tutti i casi:
disequazione >0
se delta è maggiore sono valori esterni
se delta è minore sono valori interni
disequazione o xdiverso da -b/2a
disequazione > o uguale, sempre verificata
disequazione < mai verificata
disequazione < o uguale x= -b/2a
ora ti faccio tutti i casi:
disequazione >0
se delta è maggiore sono valori esterni
se delta è minore sono valori interni
disequazione o xdiverso da -b/2a
disequazione > o uguale, sempre verificata
disequazione < mai verificata
disequazione < o uguale x= -b/2a
Leggi sopra, per favore...
Intervengo un momento per colmare una lacuna lasciata dalla tua prof.
Usando semplicemente il ragionamento, puoi determinare in fretta dove si arriverà con na disequazione, in casi semplici.
Ad esempio:
Quindi:
Sappiamo che un numero al quadrato è sempre positivo, che esso sia negativo o positivo. -2 Al quadrato è positivo, così come 2. Quindi saprai che la disequazione è sempre verificata, perchè un numero positivo è sempre maggiore di un numero negativo.
Se invece ci fosse stato 0, prova a sostituire -1, e vedi se è giusta. Se è sbagliata, ricontrolla.
:hi
Usando semplicemente il ragionamento, puoi determinare in fretta dove si arriverà con na disequazione, in casi semplici.
Ad esempio:
[math]x^2 + 49 > 0[/math]
Quindi:
[math]x^2 > - 49[/math]
Sappiamo che un numero al quadrato è sempre positivo, che esso sia negativo o positivo. -2 Al quadrato è positivo, così come 2. Quindi saprai che la disequazione è sempre verificata, perchè un numero positivo è sempre maggiore di un numero negativo.
Se invece ci fosse stato 0, prova a sostituire -1, e vedi se è giusta. Se è sbagliata, ricontrolla.
:hi
Scoppio:
Intervengo un momento per colmare una lacuna lasciata dalla tua prof.
Usando semplicemente il ragionamento, puoi determinare in fretta dove si arriverà con na disequazione, in casi semplici.
Ad esempio:
[math]x^2 + 49 > 0[/math]
Quindi:
[math]x^2 > - 49[/math]
Sappiamo che un numero al quadrato è sempre positivo, che esso sia negativo o positivo. -2 Al quadrato è positivo, così come 2. Quindi saprai che la disequazione è sempre verificata, perchè un numero positivo è sempre maggiore di un numero negativo.
Se invece ci fosse stato 0, prova a sostituire -1, e vedi se è giusta. Se è sbagliata, ricontrolla.
:hi
ma in questo caso, visto che il delta è minore di 0 e la disequazione è maggiore di 0 sarà sempre verificata, quindi non è necessario trovare le soluzioni:
p.s. non ho capito il -49 all'altro membro
No, io al delta ottengo 36. Poi mi escono le due soluzioni -4 e 2. Lo 0 non lo trovo. Perché, in ogni caso, io posso ottenere solo due soluzioni. Ma il fatto é che le soluzioni, come già detto, come numeri, sono corrette. La loro posizione nello schema, é errata. Ma non capisco da dove venga questo 0. L'ho rifatta tre volte, controllando traccia e passaggi.
Pluto1:
No, io al delta ottengo 36. Poi mi escono le due soluzioni -4 e 2. Lo 0 non lo trovo. Perché, in ogni caso, io posso ottenere solo due soluzioni. Ma il fatto é che le soluzioni, come già detto, come numeri, mi trovo. La loro posizione, é errata. Ma non capisco da dove venga questo 0. L'ho rifatta tre volte, controllando traccia e passaggi.
metti l'uguale al posto del > 0
[math]x^2+49=0[/math]
[math]x=\pm\sqrt{-49}[/math]
visto che sotto radice c'è un numero negativo si va nel campo dei numeri immaginari, quindi mi spieghi come trovi le due soluzioni?
Mark, un attimo, il tuo schema è valido solo nel caso in cui a > 0, nel caso a sia < 0, è l'esatto contrario. ;)
Nel mio esempio non ho trovato le soluzioni, ho semplicemente ragionato isolando il termine noto al secondo membro e il termine incognito di secondo grado al primo. Dopo questo le soluzioni sono evidenti.
:hi
Nel mio esempio non ho trovato le soluzioni, ho semplicemente ragionato isolando il termine noto al secondo membro e il termine incognito di secondo grado al primo. Dopo questo le soluzioni sono evidenti.
:hi
Scoppio:
Mark, un attimo, il tuo schema è valido solo nel caso in cui a > 0, nel caso a sia < 0, è l'esatto contrario. ;)
Nel mio esempio non ho trovato le soluzioni, ho semplicemente ragionato isolando il termine noto al secondo membro e il termine incognito di secondo grado al primo. Dopo questo le soluzioni sono evidenti.
:hi
hai ragione
Ti consiglio di preparare provvisoriamente due schemi: uno è quello che ti ha dato Mark, l'altro è l'esatto contrario. Quando avrai una disequazione ridotta a froma normale, li guarderai fino a quando non ti verrà automatico operare nel modo giusto.
:hi
:hi
forse però non gli è ancora chiaro come si calcola il delta, perchè da
cmq si calcola
in questo caso b=0
[math]x^2+49>0[/math]
il delta come può essere 36???cmq si calcola
[math]b^2-4ac[/math]
in questo caso b=0
[quote]Pluto1:
Penso di aver capito.
25x^2 – 64 < 0.
D = b^2 – 4ac=(0)^2 – 4(25)(-64)=0+6400=6400
X^1,2=-(b) +/- 80/50
x^1=-8/5
x^2=8/5
a>0, discorde coll’equazione. Indi, valori INTERNI. Viene quindi -8/5 < x < 8/5
Ho provato a fare lo schema, ma non funge. XD
Ho provato a fare una disequazione. Tutto bene, ma non mi trovo al risultato.
Mi trovo i valori, a>0, discorde con la disequazione. Delta maggiore, quindi interni.
Però mi da invece al risultato x
Penso di aver capito.
25x^2 – 64 < 0.
D = b^2 – 4ac=(0)^2 – 4(25)(-64)=0+6400=6400
X^1,2=-(b) +/- 80/50
x^1=-8/5
x^2=8/5
a>0, discorde coll’equazione. Indi, valori INTERNI. Viene quindi -8/5 < x < 8/5
Ho provato a fare lo schema, ma non funge. XD
Ho provato a fare una disequazione. Tutto bene, ma non mi trovo al risultato.
Mi trovo i valori, a>0, discorde con la disequazione. Delta maggiore, quindi interni.
Però mi da invece al risultato x
Dunque ragazzi secondo me c'è un po' di confusione in tutto ciò. Vediamo se riesco a chiarire un po' le cose.
Prendiamo in considerazione una disequazione con i coefficienti a, b, c non nulli; ad esempio:
La funzione in questione è una parabola.
Quando noi troviamo le soluzioni della parabola, troviamo i valori di x, per i quali la parabola interseca l'asse delle ascisse. Per trovare tali valori possiamo procedere utilizzando la formula oppure in modo più intelligente, cercando di decomporre il polinomio.
Partiamo dal decomporre il polinomio. Sappiamo che dobbiamo trovare due numeri
Ma prima di procedere mettiamo in luce quali sono i coefficienti:
Adesso procediamo nel trovare i due numeri
In fretta vediamo che i due numeri cercati sono
Quindi possiamo scrivere in questo modo la nostra disequazione:
Abbiamo solo separato in due il termine con la x di primo grado.
Ora possiamo raccogliere parzialmente:
Vediamo ora che il fattore
Come abbiamo detto prima le soluzioni sono rappresentate dall'intersezione della parabola con l'asse delle ascisse, quindi per trovarle poniamo la funzione uguale a zero.
Ora affinché sia rispettata l'uguaglianza dobbiamo avere almeno un fattore uguale a zero, perciò avremo:
Bene, ora si tratta di trovare dove la parabola sia negativa e dove positiva. A tal scopo possiamo procedere in due modi:
1) Metodo grafico
2) Metodo algebrico
Di seguito ti illustro entrambi i procedimenti:
1) Metodo grafico:
Si tratta di tracciare il grafico della parabola e vedere dove questa sia positiva o negativa (per quali valori di x, abbiamo coordinate negative e positive), ovviamente conoscendo i punti di intersezione trovati precedentemente.
Come poi vedere abbiamo che la parabola è negativa per valori compresi fra
2) Metodo algebrico:
Si tratta di trovare in modo algebrico (grafico dei segni) la soluzione. Vediamo ora come procedere.
Per arrivare alla soluzione dobbiamo studiare il segno della funzione studiandone ancora una volta fattore per fattore.
Quindi abbiamo:
Adesso abbiamo questi due fattori di cui conosciamo il segno, perciò non ci resta che moltiplicarli per vedere il segno della funzione:
Come risulta dal grafico dei segni abbiamo che la disequazione è soddisfatta per valori esterni ossia per:
Come ci aspettavamo abbiamo ottenuto la stessa soluzione.
Riprendendo il discorso iniziale:
Se non riesci a scomporlo come ti ho mostrato puoi applicare la formula per trovare le soluzioni, cioè:
Quindi sostituendo i valori abbiamo:
E poi procedi come sopra descritto.
Studiamo una disequazione del tipo
Partiamo subito a studiare un esempio:
Come prima cerchiamo le soluzioni della funzione, ma come puoi ben vedere la funzione non ha soluzioni, e lo possiamo verificare attraverso, come detto prima, attraverso un metodo grafico e un metodo algebrico.
1) Metodo grafico:
Allora si tratta di tracciare il grafico della funzione e verificare come prima, ove questa sia positiva o negativa. (Non avendo soluzioni è naturale che la funzione giaccia su un unico semipiano delimitato dall'asse delle ascisse):
Come puoi vedere la funzione giace sul solo semipiano positivo delle ordinate. Perciò data la nostra disequazione che chiede dove la funzione è maggiore di zero, abbiamo che questa è sempre verificata per ogni valore di x.
2) Metodo algebrico
Qui dobbiamo ragionare sui termini a nostra disposizione.
Perciò la nostra funzione è data dalla somma di due numeri positivi, perciò non può che essere sempre maggiore di zero.
Altro modo come proponeva scoppio prima di me:
Non esistono soluzioni come già avevamo appurato precedentemente.
Ora sempre nel in questo caso se noi avessimo una disequazione del tipo:
Vediamo che in questo caso il polinomio è scomponibile come differenza di quadrati:
Beh a questo punto la risoluzione è uguale precisa al primo caso che ti ho descritto, nel quale devi studiare i due fattori.
Quasi dimenticavo:
Se vuoi usare la formula scriviamo la disequazione come:
Perciò nel nostro caso:
Partiamo sempre col solito esempio:
Raccogliamo la x:
e ci rifacciamo sempre al caso in cui dobbiamo studiare i due fattori.
Per la formula la applichi sempre, sapendo che abbiamo:
Nel nostro caso:
Ora se hai dubbi chiedi pure. Spero si essere stato chiaro. ;)
DISEQUAZIONE COMPLETA DI TUTTI I TERMINI
Prendiamo in considerazione una disequazione con i coefficienti a, b, c non nulli; ad esempio:
[math]x^2-5x+6>0[/math]
La funzione in questione è una parabola.
Quando noi troviamo le soluzioni della parabola, troviamo i valori di x, per i quali la parabola interseca l'asse delle ascisse. Per trovare tali valori possiamo procedere utilizzando la formula oppure in modo più intelligente, cercando di decomporre il polinomio.
Partiamo dal decomporre il polinomio. Sappiamo che dobbiamo trovare due numeri
[math]q[/math]
ed [math]s[/math]
tali per cui:[math]q+s=b[/math]
[math]q\cdot s=a\cdot c[/math]
Ma prima di procedere mettiamo in luce quali sono i coefficienti:
[math]a=+1[/math]
[math]b=-5[/math]
[math]c=+6[/math]
Adesso procediamo nel trovare i due numeri
[math]q[/math]
ed [math]s[/math]
sapendo che:[math]q+s=-5 \\
q\cdot s=6[/math]
q\cdot s=6[/math]
In fretta vediamo che i due numeri cercati sono
[math]-2[/math]
e [math]-3[/math]
.Quindi possiamo scrivere in questo modo la nostra disequazione:
[math]x^2-3x-2x+6>0[/math]
Abbiamo solo separato in due il termine con la x di primo grado.
Ora possiamo raccogliere parzialmente:
[math]x(x-3)-2(x-3)>0[/math]
Vediamo ora che il fattore
[math]x-3[/math]
è comune e possiamo raccoglierlo ottenendo così:[math](x-3)(x-2)>0[/math]
Come abbiamo detto prima le soluzioni sono rappresentate dall'intersezione della parabola con l'asse delle ascisse, quindi per trovarle poniamo la funzione uguale a zero.
[math](x-3)(x-2)=0[/math]
Ora affinché sia rispettata l'uguaglianza dobbiamo avere almeno un fattore uguale a zero, perciò avremo:
[math]x-3=0\;\right\; x=3[/math]
e questo è il primo fattore e la prima soluzione soluzione;[math]x-2=0\;\right\; x=2[/math]
e questo e il secondo fattore con la seconda soluzione.Bene, ora si tratta di trovare dove la parabola sia negativa e dove positiva. A tal scopo possiamo procedere in due modi:
1) Metodo grafico
2) Metodo algebrico
Di seguito ti illustro entrambi i procedimenti:
1) Metodo grafico:
Si tratta di tracciare il grafico della parabola e vedere dove questa sia positiva o negativa (per quali valori di x, abbiamo coordinate negative e positive), ovviamente conoscendo i punti di intersezione trovati precedentemente.
Come poi vedere abbiamo che la parabola è negativa per valori compresi fra
[math]2[/math]
e [math]3[/math]
e positiva per valori esterni. Siccome la disequazione chiedeva dove la funzione è positiva accettiamo solo i valori esterni avendo così:[math]sol.:\; x3[/math]
2) Metodo algebrico:
Si tratta di trovare in modo algebrico (grafico dei segni) la soluzione. Vediamo ora come procedere.
Per arrivare alla soluzione dobbiamo studiare il segno della funzione studiandone ancora una volta fattore per fattore.
Quindi abbiamo:
[math]x-2>0\right x>2[/math]
[math]x-3>0\right x>3[/math]
Adesso abbiamo questi due fattori di cui conosciamo il segno, perciò non ci resta che moltiplicarli per vedere il segno della funzione:
Come risulta dal grafico dei segni abbiamo che la disequazione è soddisfatta per valori esterni ossia per:
[math]sol.:\; x3[/math]
Come ci aspettavamo abbiamo ottenuto la stessa soluzione.
Riprendendo il discorso iniziale:
Se non riesci a scomporlo come ti ho mostrato puoi applicare la formula per trovare le soluzioni, cioè:
[math]x_{1;2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]
Quindi sostituendo i valori abbiamo:
[math]x_{1;2}=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}
\\
x_1=\frac{5-1}{2}=2
\\
x_2=\frac{5+1}{2}=3[/math]
\\
x_1=\frac{5-1}{2}=2
\\
x_2=\frac{5+1}{2}=3[/math]
E poi procedi come sopra descritto.
DISEQUAZIONE PRIVA DEL TERMINE DELLA X DI PRIMO GRADO
Studiamo una disequazione del tipo
[math]ax^2+c>0[/math]
Partiamo subito a studiare un esempio:
[math]x^2+3>0[/math]
Come prima cerchiamo le soluzioni della funzione, ma come puoi ben vedere la funzione non ha soluzioni, e lo possiamo verificare attraverso, come detto prima, attraverso un metodo grafico e un metodo algebrico.
1) Metodo grafico:
Allora si tratta di tracciare il grafico della funzione e verificare come prima, ove questa sia positiva o negativa. (Non avendo soluzioni è naturale che la funzione giaccia su un unico semipiano delimitato dall'asse delle ascisse):
Come puoi vedere la funzione giace sul solo semipiano positivo delle ordinate. Perciò data la nostra disequazione che chiede dove la funzione è maggiore di zero, abbiamo che questa è sempre verificata per ogni valore di x.
[math]sol.:\; \forall x [/math]
2) Metodo algebrico
[math]x^2+3>0[/math]
Qui dobbiamo ragionare sui termini a nostra disposizione.
[math]x^2[/math]
, per qualsiasi valore di x è sempre positivo. (qualsiasi numero elevato ad esponente pari da come risultato un numero positivo)[math]+3[/math]
è inutile dire che sia positivo.Perciò la nostra funzione è data dalla somma di due numeri positivi, perciò non può che essere sempre maggiore di zero.
Altro modo come proponeva scoppio prima di me:
[math]x^2=-3 [/math]
[math]x=\pm\sqrt{-3}[/math]
Non esistono soluzioni come già avevamo appurato precedentemente.
Ora sempre nel in questo caso se noi avessimo una disequazione del tipo:
[math]x^2-3>0[/math]
Vediamo che in questo caso il polinomio è scomponibile come differenza di quadrati:
[math](x-\sqrt{3}) \cdot (x+\sqrt{3})>0[/math]
Beh a questo punto la risoluzione è uguale precisa al primo caso che ti ho descritto, nel quale devi studiare i due fattori.
Quasi dimenticavo:
Se vuoi usare la formula scriviamo la disequazione come:
[math]ax^2+0x+c>0[/math]
Perciò nel nostro caso:
[math]x^2+0x+3>0[/math]
DISEQUAZIONE PRIVA DEL TERMINE NOTO
[math]ax^2+bx>0[/math]
Partiamo sempre col solito esempio:
[math]x^2+2x>0[/math]
Raccogliamo la x:
[math]x(x+2)>0[/math]
e ci rifacciamo sempre al caso in cui dobbiamo studiare i due fattori.
Per la formula la applichi sempre, sapendo che abbiamo:
[math]ax^2+bx+0>0[/math]
Nel nostro caso:
[math]x^2+2x+0>0[/math]
Ora se hai dubbi chiedi pure. Spero si essere stato chiaro. ;)
bravissimo the track!!!!!
Grazie mille. Sei stato gentilissimo. ^^
se hai bisogno chied..altrimenti chiudo!!!
Puoi chiudere. Ho capito tutto. ^^
Questa discussione è stata chiusa
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo