Disequazioni con valori assoluti
Salve a tutti, cortesemente c'è qualcuno che potrebbe indicarmi come svolgere questa disequazione? Grazie in anticipo
[math] \sqrt{\frac{|x-2|+2x-3}{x-4}} \ge 1 [/math]
Risposte
Per prima cosa dobbiamo porre l'attenzione sul valore assoluto:
Ricordiamo che il valore assoluto, quando l'argomento e' positivo o nullo, e' inutile, mentre quando l'argomento e' negativo, opera restituendo un valore positivo.
L'operazione che fa il valore assoluto, quando l'argomento e' negativo, altro non e' che cambiare di segno, ovvero moltiplicare per - 1.
Il valore assoluto e' inutile dunque se
Mentre opera quando x1 \\ x \ge 2 [/math]
A questo punto dobbiamo ricordare che, per risolvere la disequazione, dobbiamo prima di tutto imporre che l'argomento della radice esista...
Esso dovra' essere >= 0
Quindi
Numeratore maggiore o uguale a zero:
Denominatore > 0 (in senso stretto perche' uguale a zero non ha senso)
E dunque facendo il grafico dei segni, avremo che il radicando e' maggiore o uguale di zero, per
E dunque possiamo a questo punto elevare al quadrato ambo i membri...
Abbiamo quindi un sistema TOTALE da risolvere, di questo tipo (ovvero riepiloghiamo tutte le informazioni fin qui raccolte)
Risolvo la terza tralasciando le altre due soluzioni...
Minimo comune multiplo:
Porto tutto a sinistra:
E quindi
Numeratore maggiore di zero (in senso stretto, la disequazione e' > 0 in senso stretto)
Denominatore > 0
Grafico dei segni (e prendo i segni piu')
E quindi il sistema finale sara'
A questo punto faccio il grafico del sistema.
Ricordati che il grafico del sistema, non richiede di tracciare le linee continue e tratteggiate, ma semplicemente linee continue dove la soluzione ESISTE e nessuna linea dove la soluzione non c'e'.
Avremo dunque un grafico di questo tipo:
Prima linea del sistema : linea fino a 5/3 (5/3 compreso) e poi linea da 4 in poi;
Seconda linea: da 2 (compreso) in poi
Terza linea: fino a 1/2 (1/2 escluso) e da 4 (escluso il 4) in poi
A questo punto devi prendere solo gli intervalli dove ci sono TUTTE E 3 le linee..
Quindi, fino a 2 la seconda linea non c'e'
Da 2 a 4 non ci sono altre linee se non la seconda..
Da 4 in poi (4 escluso) ci sono tutte e 3 le linee
Quindi la soluzione del sistma e' x>4.
Ora analogamente devi risolvere il secondo sistema..
E unire le soluzioni..
Prova a risolvere la seconda in modo del tutto analogo a quella risolta da me
Ricordiamo che il valore assoluto, quando l'argomento e' positivo o nullo, e' inutile, mentre quando l'argomento e' negativo, opera restituendo un valore positivo.
L'operazione che fa il valore assoluto, quando l'argomento e' negativo, altro non e' che cambiare di segno, ovvero moltiplicare per - 1.
Il valore assoluto e' inutile dunque se
[math] x-2 \ge 0 \to x \ge 2 [/math]
Mentre opera quando x1 \\ x \ge 2 [/math]
[math] U [/math]
[math] \{ \sqrt{\frac{-(x-2)+2x-3}{x-4}}>1 \\ x= 2
Eseguiamo i calcoli:
[math] \sqrt{\frac{3x-5}{x-4}} >1 [/math]
Eseguiamo i calcoli:
[math] \sqrt{\frac{3x-5}{x-4}} >1 [/math]
A questo punto dobbiamo ricordare che, per risolvere la disequazione, dobbiamo prima di tutto imporre che l'argomento della radice esista...
Esso dovra' essere >= 0
Quindi
[math] \frac{3x-5}{x-4} \ge 0 [/math]
Numeratore maggiore o uguale a zero:
[math] 3x-5 \ge 0 \to 3x \ge 5 \to x \ge \frac 53 [/math]
Denominatore > 0 (in senso stretto perche' uguale a zero non ha senso)
[math] x > 4 [/math]
E dunque facendo il grafico dei segni, avremo che il radicando e' maggiore o uguale di zero, per
[math] x \le \frac53 \ U \ x>4 [/math]
E dunque possiamo a questo punto elevare al quadrato ambo i membri...
Abbiamo quindi un sistema TOTALE da risolvere, di questo tipo (ovvero riepiloghiamo tutte le informazioni fin qui raccolte)
[math] \{ x \le \frac53 \ U \ x>4 \\ x \ge 2 \\ \frac{3x-5}{x-4} > 1 [/math]
Risolvo la terza tralasciando le altre due soluzioni...
Minimo comune multiplo:
[math] \frac{3x-5}{x-4} > \frac{x-4}{x-4} [/math]
Porto tutto a sinistra:
[math] \frac{3x-5-x+4}{x-4} > 0 [/math]
E quindi
[math] \frac{2x-1}{x-4} > 0 [/math]
Numeratore maggiore di zero (in senso stretto, la disequazione e' > 0 in senso stretto)
[math] 2x-1>0 \to x> \frac12 [/math]
Denominatore > 0
[math] x>4 [/math]
Grafico dei segni (e prendo i segni piu')
[math] x< \frac12 \ U \ x>4 [/math]
E quindi il sistema finale sara'
[math] \{ x \le \frac53 \ U \ x>4 \\ x \ge 2 \\ x< \frac12 \ U \ x>4 [/math]
A questo punto faccio il grafico del sistema.
Ricordati che il grafico del sistema, non richiede di tracciare le linee continue e tratteggiate, ma semplicemente linee continue dove la soluzione ESISTE e nessuna linea dove la soluzione non c'e'.
Avremo dunque un grafico di questo tipo:
Prima linea del sistema : linea fino a 5/3 (5/3 compreso) e poi linea da 4 in poi;
Seconda linea: da 2 (compreso) in poi
Terza linea: fino a 1/2 (1/2 escluso) e da 4 (escluso il 4) in poi
A questo punto devi prendere solo gli intervalli dove ci sono TUTTE E 3 le linee..
Quindi, fino a 2 la seconda linea non c'e'
Da 2 a 4 non ci sono altre linee se non la seconda..
Da 4 in poi (4 escluso) ci sono tutte e 3 le linee
Quindi la soluzione del sistma e' x>4.
Ora analogamente devi risolvere il secondo sistema..
E unire le soluzioni..
Prova a risolvere la seconda in modo del tutto analogo a quella risolta da me
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