Disequazioni con valore assoluto.

[cloe009]

salve,

ho le seguenti disequazioni con valore assoluto.
Le ho risolte ma non è uscito il risultato sperato,
spero possiate aiutarmi nel correggerli.

Ecco le disequazioni:
1) $x<|3x+1|+5$ S.: $AAx\in RR$
2) $(|x|-2)/(sqrt(3x+4))<0$ S.: $]-4/3;2[$

ecco i miei passaggi:

1) $x<|3x+1|+5$
porto il valore assoluto al primo membro, quello che rimane al secondo membro:
$-|3x+1|<-x+5$
sistema:
${\(-3x+1<-x+5),(-3x+1>x-5):} \Rightarrow {\(-2x<4),(-4x> -6):} \Rightarrow {\(x> -2),(x<3/2):}$

ottengo soluzioni comuni in $-2
2) $(|x|-2)/(sqrt(3x+4))<0$

sistema di due disequazioni:
${\((-x-2)/(sqrt(3x+4))<0),((x-2)/(sqrt(3x+4))>0):}$

studio il segno delle singole disequazioni,
significa imporre ognuna di queste $>0$ e
conseguentemente numeratore e denominatore $>0$

analizzo la (I):
$(-x-2)/(sqrt(3x+4))>0$
$\Rightarrow -x-2>0; sqrt(3x+4)>0$
le soluzioni che ottengo sono:
$x<-2; x> -4/3$
faccio il grafico e considero solo gli intervalli "negativi" dal momento che la disequazione originaria ha verso negativo
e le soluzioni valide sono $x<-2; x> -4/3$

analizzo la (II):
$(x-2)/(sqrt(3x+4))>0$
stesso ragionamento di prima, e le soluzioni che ottengo sono:
$x>2; x> -4/3$
faccio il grafico e considero solo gli intervalli "positivi" dal momento che la diseuazione di partenza all'interno del sistema ha verso positivo
le soluzioni valide sono $x<-4/3; x>2$

metto a sistema le soluzioni valide della (I) e della (II)
${\(x<-2; x> -4/3),(x<-4/3; x>2):}$
le soluzioni comuni che ottengo sono $x<-2; x>2$ e non quelle desiderate $]-4/3;2[$

spero possiate cortesemente aiutarmi nella correzione.
mille grazie.

[G.D.5]

Per la prima:
$x<|3x+1|+5 \iff x-5<|3x+1| \iff |3x+1|>x-5 \iff 3x+1>x-5 \vee 3x+1<5-x \iff x> -3 \vee x<1 \iff x \in RR$.

[G.D.5]

Per la seconda basta notare che il denominatore è sempre positivo, laddove esista, ergo tutto ruota intorno al numeratore: $\frac{|x|-2}{\sqrt{3x+4}}<0 \iff |x|-2 < 0 \iff |x|<2 \iff -2 -\frac{4}{3}$, sicché $]-\frac{4}{3};2[$.

[G.D.5]

Venendo ad una analisi dei tuoi metodi risolutivi, il primo errore sta nel fatto che metti a sistema le due disequazioni che si ottengono a seconda che l'argomento del modulo sia negativo o non negativo: non sono queste le disequazioni che vanno a sistema, bensì in un sistema ci va la disequazione che si ottiene con argomento negativo con la disequazione che traduce la negatività dell'argomento, mentre nell'altro sistema ci va la disequazione che si ottiene quando l'argomento è non negativo con la disequazione che traduce la non negatività dell'argomento del modulo. Delle soluzioni dei due sistemi va fatta l'unione.

Così, e.g. per la seconda, il tuo modus operandi doveva risultare

${(x>=0),(\frac{x-2}{\sqrt{3x+4}}<0):} \ \ \ \ \ \vee \ \ \ \ \ {(x<0),(\frac{-x-2}{\sqrt{3x+4}}<0):}$

Ovviamente, prima di imbarcarsi in conti iperbolici e noiosi, è sempre meglio usare un briciolo di astuzia e saltare i passaggi "burocratici" che si possono saltare.