Disequazioni con moduli e radice... chiarimenti!
Salve a breve avrò un compito sulle disequazioni fratte/ irrazionali / con moduli / logartimi ecc ma ho alcuni dubbi.... se mi si pone una disequazione presente solo o il modulo o radice o ecc la so fare e so farle anche se sono fratte perchè svolgo il nominatore e il denominatore separatamente ma se il problema si pone cosi?
\(\sqrt{|x-1|} > 2-x \)
come si fa? devo seguire il metodo per le disequazioni irrazionali o quelle per il modulo?
invece se è cosi?
\(\sqrt{x-1} > |x+2| \)
alcuni miei amici elevano al quadrato e risolvono tutto senza fare sistemi o altro ma a volte si può fare e a volte no ... chi può darmi spiegazioni?
P.S.
ho provato a cercare nel forum o altre discussioni ma nn ci ho capito molto...
\(\sqrt{|x-1|} > 2-x \)
come si fa? devo seguire il metodo per le disequazioni irrazionali o quelle per il modulo?
invece se è cosi?
\(\sqrt{x-1} > |x+2| \)
alcuni miei amici elevano al quadrato e risolvono tutto senza fare sistemi o altro ma a volte si può fare e a volte no ... chi può darmi spiegazioni?
P.S.
ho provato a cercare nel forum o altre discussioni ma nn ci ho capito molto...
Risposte
Applicare regole a memoria è sempre sconsigliabile; molto meglio ragionare su ogni esercizio. Nel caso di disequazioni irrazionali, i punti base del ragionamento sono i due seguenti:
1) Il radicando deve essere positivo o nullo. In alcuni casi (che vedremo meglio dopo) può essere inutile imporlo ma ti consiglio di farlo tutte le volte che non ne hai la certezza immediata, salvo cancellarlo poi tracciandovi sopra una riga. Alla peggio, farai un calcolo inutile ma non sbagliato.
2) Si può elevare a quadrato solo quando si ha la certezza che entrambi i membri sono positivi o nulli.
Vediamo l'applicazione pratica con i tuoi due esercizi; comincio col secondo, che è il più facile.
Il radicando deve essere maggiore o uguale a zero; il secondo membro non è certo negativo perché è un valore assoluto e quindi hai la certezza di cui al punto 2) e puoi elevare a quadrato. Ottieni
${(x-1>=0),(x-1>(x+2)^2):}$
A questo punto notiamo che se $x-1$ è maggiore di un quadrato è certo maggiore di zero; la prima disequazione è inutile e la cancelliamo con un tratto di penna. Ci basta quindi risolvere la seconda.
La stessa cancellazione avviene quando una disequazione dice che il radicando è maggiore di un quadrato, per lo stesso ragionamento.
Passiamo ora al primo esercizio. Qui hai la certezza che il radicando è maggiore o uguale a zero, essendo un valore assoluto: non occorre imporre alcuna condizione per il punto 1). Invece non abbiamo certezze sul segno del secondo membro e quindi dobbiamo di distinguere due casi, di cui alla fine faremo l'unione: il caso A, in cui $2-x<0$ e il caso B, in cui $2-x>=0$.
Caso A) Il primo membro esiste e non è negativo mentre il secondo è negativo, quindi il primo è sempre maggiore del secondo. Il tutto si riduce perciò alla disequazione
$2-x<0->x>2$
In altri esercizi dovresti metterla a sistema con radicando>0 ma qui abbiamo detto che è inutile.
Caso B) Hai la certezza che tutto è positivo e puoi elevare a quadrato, mettendo a sistema con la disequazione che dice che sei in questo caso. Ottieni
${(2-x>=0),(|x-1|>(2-x)^2):}$
La seconda disequazione va risolta col metodo dei valori assoluti e quindi dovrai dividere in due sottocasi; unisci i risultati di questi sottocasi e metti il risultato a sistema con la prima disequazione.
Concludi unendo i risultati dei casi A e B.
1) Il radicando deve essere positivo o nullo. In alcuni casi (che vedremo meglio dopo) può essere inutile imporlo ma ti consiglio di farlo tutte le volte che non ne hai la certezza immediata, salvo cancellarlo poi tracciandovi sopra una riga. Alla peggio, farai un calcolo inutile ma non sbagliato.
2) Si può elevare a quadrato solo quando si ha la certezza che entrambi i membri sono positivi o nulli.
Vediamo l'applicazione pratica con i tuoi due esercizi; comincio col secondo, che è il più facile.
Il radicando deve essere maggiore o uguale a zero; il secondo membro non è certo negativo perché è un valore assoluto e quindi hai la certezza di cui al punto 2) e puoi elevare a quadrato. Ottieni
${(x-1>=0),(x-1>(x+2)^2):}$
A questo punto notiamo che se $x-1$ è maggiore di un quadrato è certo maggiore di zero; la prima disequazione è inutile e la cancelliamo con un tratto di penna. Ci basta quindi risolvere la seconda.
La stessa cancellazione avviene quando una disequazione dice che il radicando è maggiore di un quadrato, per lo stesso ragionamento.
Passiamo ora al primo esercizio. Qui hai la certezza che il radicando è maggiore o uguale a zero, essendo un valore assoluto: non occorre imporre alcuna condizione per il punto 1). Invece non abbiamo certezze sul segno del secondo membro e quindi dobbiamo di distinguere due casi, di cui alla fine faremo l'unione: il caso A, in cui $2-x<0$ e il caso B, in cui $2-x>=0$.
Caso A) Il primo membro esiste e non è negativo mentre il secondo è negativo, quindi il primo è sempre maggiore del secondo. Il tutto si riduce perciò alla disequazione
$2-x<0->x>2$
In altri esercizi dovresti metterla a sistema con radicando>0 ma qui abbiamo detto che è inutile.
Caso B) Hai la certezza che tutto è positivo e puoi elevare a quadrato, mettendo a sistema con la disequazione che dice che sei in questo caso. Ottieni
${(2-x>=0),(|x-1|>(2-x)^2):}$
La seconda disequazione va risolta col metodo dei valori assoluti e quindi dovrai dividere in due sottocasi; unisci i risultati di questi sottocasi e metti il risultato a sistema con la prima disequazione.
Concludi unendo i risultati dei casi A e B.
\(\sqrt{x^2-6} > \sqrt{|x^2-3x+12|} \) in questo caso però dobbiamo vedere se il radicando e positivo o nullo
ma sono due radicandi quanti sistemi dovremmo fare? me lo spiegare anche senza il valore assoluto
\(\sqrt{x^2-6} > \sqrt{x^2-3x+12} + \sqrt{ 7x-21} \)
ma sono due radicandi quanti sistemi dovremmo fare? me lo spiegare anche senza il valore assoluto
\(\sqrt{x^2-6} > \sqrt{x^2-3x+12} + \sqrt{ 7x-21} \)
Nel primo caso il secondo radicando è certo non negativo e quindi ti basta imporre $x^2-6>=0$. Quando poi elevi a quadrato (lecito perché nessun membro è negativo) ottieni $x^2-6>|x^2-3x+12|$ che rende inutile la precedente disequazione: ciò che è maggiore di un valore assoluto è positivo.
Nel secondo caso devi imporre che entrambi i radicandi siano maggiori o uguali a zero e poi elevare a quadrato; ottieni
${(x^2-6>=0),(x^2-3x+12>=0),(x^2-6>x^2-3x+12):}$
Anche qui la prima disequazione può essere cancellata; infatti la terza dice che $x^2-6$ è maggiore di un qualcosa che, per la seconda disequazione, non è negativo.
Comunque ribadisco quello che già avevo detto: se anche non cancelli le disequazioni inutili non sbagli; fai solo qualche calcolo in più.
Nel secondo caso devi imporre che entrambi i radicandi siano maggiori o uguali a zero e poi elevare a quadrato; ottieni
${(x^2-6>=0),(x^2-3x+12>=0),(x^2-6>x^2-3x+12):}$
Anche qui la prima disequazione può essere cancellata; infatti la terza dice che $x^2-6$ è maggiore di un qualcosa che, per la seconda disequazione, non è negativo.
Comunque ribadisco quello che già avevo detto: se anche non cancelli le disequazioni inutili non sbagli; fai solo qualche calcolo in più.
ok ok credo di aver capito ora ho un'altro problema ho questa disequazione:
$ (x-4+ sqrt(x+2) )/(1-x^2)>0 $
io svolgo tutto è mi trovo
$ x<-1 e 1
invece sul libro mi porta
$ -2
come mai?
$ (x-4+ sqrt(x+2) )/(1-x^2)>0 $
io svolgo tutto è mi trovo
$ x<-1 e 1
invece sul libro mi porta
$ -2
come mai?
Eh metti qualche passaggio, è difficile altrimenti capire dove sbagli. Così ad occhio hai dimenticato le CE della radice.
si sto da due ora a non capire come cavolo si fanno .. scusa il nervossismo...questa è la disequazione
$ (x-4+ sqrt(x+2) )/(1-x^2)>0 $
io la risolvo facendo il n>0 e il d>0 mi trovo due risultati che poi metto insieme nel grafico finale ... io nn ho capito bene il fatto del campo di esistenza
quando nn c'è la radice al denominatore si fa lo stesso con $ (1-x^2) $ o insieme a questo devo metterci anche l'argomento della radice??
è in un'altra disequazione che ho fatto dopo, tipo $ (3x+ sqrt(x^2-1) )/(sqrt( x-1)+3x+4>0 )$ la radice sta sia al nominatore che al denominatore ma il campo di esistenza lo facevo solo con le radice o radici del denominatoree , e nel grafico finale togliendo la parte del campo di esistenza mi trovavo (anche se il campo di esistenza era senza aggiungere quelle del nominatore) ... dunque quando la radice sta sopra e sotto mi basta fare il campo di esistenza di quelle di sotto che poi nel grafico finale prendo solo le parti concesse mentre quando al denominatore non ci sono le radici ma stanno sopra come si fa??
$ (x-4+ sqrt(x+2) )/(1-x^2)>0 $
io la risolvo facendo il n>0 e il d>0 mi trovo due risultati che poi metto insieme nel grafico finale ... io nn ho capito bene il fatto del campo di esistenza
quando nn c'è la radice al denominatore si fa lo stesso con $ (1-x^2) $ o insieme a questo devo metterci anche l'argomento della radice??
è in un'altra disequazione che ho fatto dopo, tipo $ (3x+ sqrt(x^2-1) )/(sqrt( x-1)+3x+4>0 )$ la radice sta sia al nominatore che al denominatore ma il campo di esistenza lo facevo solo con le radice o radici del denominatoree , e nel grafico finale togliendo la parte del campo di esistenza mi trovavo (anche se il campo di esistenza era senza aggiungere quelle del nominatore) ... dunque quando la radice sta sopra e sotto mi basta fare il campo di esistenza di quelle di sotto che poi nel grafico finale prendo solo le parti concesse mentre quando al denominatore non ci sono le radici ma stanno sopra come si fa??
Il fatto che la radice stia a numeratore o denominatore è del tutto indifferente. Se compare (ovunque compaia) una radice con indice di radice pari (come la tua) devi porre la condizione di esistenza per quella radice, ossia che il radicando sia $>=0$. Se poi hai anche una frazione dovrai porre la condizione di esistenza della frazione, ossia che il denominatore sia $!=0$. Tutte le condizioni di esistenza vanno messe a sistema e la soluzione di questo sistema determinerà le tue condizioni di esistenza complessive.
Ti faccio l'esempio per le ultime due che hai postato: nella prima hai una frazione e una radice, poni quindi a sistema le due condizioni. ${(x+2>=0),(1-x^2!=0):}$, la soluzione di questo sistema ti da le CE complessive.
Nella seconda il sistema sarà ${(x^2-1>=0),(x-1>=0),(sqrt(x-1)+3x+4!=0):}$.
Nella seconda il sistema sarà ${(x^2-1>=0),(x-1>=0),(sqrt(x-1)+3x+4!=0):}$.
"burm87":
Nella seconda il sistema sarà ${(x^2-1>=0),(x-1>=0),(sqrt(x-1)+3x+4!=0):}$.
in questa hai sbagliato a scrivere o e proprio cosi? cioè io poi dovrei risolvere la radice facendo ancora un'altro sistema?
"burm87":
Ti faccio l'esempio per le ultime due che hai postato: nella prima hai una frazione e una radice, poni quindi a sistema le due condizioni. $ {(x+2>=0),(1-x^2!=0):} $, la soluzione di questo sistema ti da le CE complessive.
poi $ {(x+2>=0),(1-x^2!=0):} $ come si svolge? se sta il coso $ !=$ nel grafico come lo faccio?
e per ultimo con il modulo come faccio il campo di esistenza tipo questa disequazione?
$( sqrt(3-x)-sqrt(5+x) )/(|x^2-x|-3) <0 $
cosi?
${ ( 3-x>=0 ),( 5+x>=0 ),( x^2-x>0 ):}$
e ultima domanda e nn per minor importanza una volta fatto il campo di esistenza devo svolgere l'esercizio normalmente?
Sei incappato in un errore molto comune fra chi non ne è stato preavvisato. Mentre io scrivevo questo post burm87 ti ha già dato alcune dritte, con metodo diverso dal mio; ti mando egualmente il post ormai pronto.
Quando hai riportato la $N>0$ nel grafico dei segni finale, tu hai interpretato la zona tratteggiata come segno meno; in realtà il tratteggio dice solo che non c'è il segno più e (tralasciando gli zeri) questo può avvenire in due casi: quando veramente c'è il meno oppure quando il tutto perde significato perché usciamo dal C.E. della radice. Devi quindi tener conto di quel C.E. anche nel grafico dei segni e questo può essere fatto in più modi; quello che io consiglio è di cancellare con qualche tratto obliquo di penna le zone che non vi rientrano. Nel tuo caso il tratto di penna cancella la zona $x<-2$.
Quando hai riportato la $N>0$ nel grafico dei segni finale, tu hai interpretato la zona tratteggiata come segno meno; in realtà il tratteggio dice solo che non c'è il segno più e (tralasciando gli zeri) questo può avvenire in due casi: quando veramente c'è il meno oppure quando il tutto perde significato perché usciamo dal C.E. della radice. Devi quindi tener conto di quel C.E. anche nel grafico dei segni e questo può essere fatto in più modi; quello che io consiglio è di cancellare con qualche tratto obliquo di penna le zone che non vi rientrano. Nel tuo caso il tratto di penna cancella la zona $x<-2$.
mi dite una regola gereica da seguire nn ci sto capendo più nulla 
"giammaria":
Sei incappato in un errore molto comune fra chi non ne è stato preavvisato. Mentre io scrivevo questo post burm87 ti ha già dato alcune dritte, con metodo diverso dal mio; ti mando egualmente il post ormai pronto.
Quando hai riportato la $N>0$ nel grafico dei segni finale, tu hai interpretato la zona tratteggiata come segno meno; in realtà il tratteggio dice solo che non c'è il segno più e (tralasciando gli zeri) questo può avvenire in due casi: quando veramente c'è il meno oppure quando il tutto perde significato perché usciamo dal C.E. della radice. Devi quindi tener conto di quel C.E. anche nel grafico dei segni e questo può essere fatto in più modi; quello che io consiglio è di cancellare con qualche tratto obliquo di penna le zone che non vi rientrano. Nel tuo caso il tratto di penna cancella la zona $x<-2$.
non ho capito tanto bene da dove prendi sto $x<-2$ cmq ho risposto primo della tua risposta non so se l'hai visto.... cmq ho chiesto anche con i moduli se cambiava qualcosa
Non credo di aver fatto errori quindi i sistemi sono così come ti li ho riportati.
Il valore assoluto non ha condizioni di esistenza quindi non ti serve porre nulla in merito al valore assoluto di per se. Una volta che hai le condizioni di esistenza queste andrebbero messe a sistema con la soluzione della tua disequazione, il risultato di questo ultimo sistema da la soluzione finale dell'esercizio.
Io comunque ti sconsiglio di postare esercizi su esercizi, piuttosto postane uno solo e lo vediamo da capo a coda.
Il valore assoluto non ha condizioni di esistenza quindi non ti serve porre nulla in merito al valore assoluto di per se. Una volta che hai le condizioni di esistenza queste andrebbero messe a sistema con la soluzione della tua disequazione, il risultato di questo ultimo sistema da la soluzione finale dell'esercizio.
Io comunque ti sconsiglio di postare esercizi su esercizi, piuttosto postane uno solo e lo vediamo da capo a coda.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo