Disequazioni

[Lavinia Volpe]

$ n ^ (1/n) > (n+1)^(1/(n+1)) $
$ (1+1/n)^n < n $
chi mi spiega l'equivalenza delle due disequazioni?

[igiul1]

$ n ^ (1/n) > (n+1)^(1/(n+1)) $

si può anche scrivere:

$root(n)n>root(n+1)(n+1)$ elevando primo e secondo membro alla $n+1$ si ha:

$(root(n)n)^(n+1)>(root(n+1)(n+1))^(n+1)$

$(root(n)n)^nroot(n)n>n+1$

$nroot(n)n>n+1$

$root(n)n>1+1/n$

non resta che elevare ad $n$ entrambi i membri.

[herstein]

$ n^(1/n)>(n+1)^(1/(n+1)) $
Sfrutto le proprietà delle potenze, dividendo entrami i membri per n elevato a 1/(n+1)
$ n^(1/n) /n^(1/(n+1))> (n+1)^(1/(n+1))/n^(1/(n+1)) $ .
{Per la proprietà delle potenze} n elevato a (1/n - 1/(n+1)) > (n+1)/n elevato a (1/(n+1)).
$ n^(1/n -1/(n+1)) > ((n+1)/n)^(1/(n+1) $
a questo punto scrivo il membro di destra ognuno con il suo denominatore e pongo entrambi i membri sotto la radice n+1 esima. $ n^(1/(n(n+1)))> (1+1/n)^(1/(n+1)) $