Disequazioni
22.13. Trova l’Insieme Soluzione delle seguenti disequazioni.
h ) \(\displaystyle x^2 + 1 \ge \frac{x^2 + 4x − 1}{2} + 3x \)
Soluzione del libro: \(\displaystyle \mathbb R \)
Il trinomio al numeratore del secondo membro non si può scomporre, allora ho pensato di risolverla così:
\(\displaystyle x^2 +1 \ge \frac{1}{2} x^2 + 2x - \frac{1}{2} + 3x \)
\(\displaystyle x^2 - \frac{1}{2} x^2 -2x - 3x + 1 + \frac{1}{2} \ge 0 \)
\(\displaystyle \frac{1}{2} x^2 -5x + \frac{3}{2} \ge 0 \)
Ora, come faccio a capire che la soluzione è \(\displaystyle \mathbb R \)?
h ) \(\displaystyle x^2 + 1 \ge \frac{x^2 + 4x − 1}{2} + 3x \)
Soluzione del libro: \(\displaystyle \mathbb R \)
Il trinomio al numeratore del secondo membro non si può scomporre, allora ho pensato di risolverla così:
\(\displaystyle x^2 +1 \ge \frac{1}{2} x^2 + 2x - \frac{1}{2} + 3x \)
\(\displaystyle x^2 - \frac{1}{2} x^2 -2x - 3x + 1 + \frac{1}{2} \ge 0 \)
\(\displaystyle \frac{1}{2} x^2 -5x + \frac{3}{2} \ge 0 \)
Ora, come faccio a capire che la soluzione è \(\displaystyle \mathbb R \)?
Risposte
"phi.89":
Il trinomio al numeratore del secondo membro non si può scomporre, allora ho pensato di risolverla così:
[...]
\(\displaystyle \frac{1}{2} x^2 -5x + \frac{3}{2} \ge 0 \)
Ora, come faccio a capire che la soluzione è \(\displaystyle \mathbb R \)?
Sono d'accordo con te in tutto e per tutto ma sono perplesso perché non mi viene affatto che è tutto $\RR$ dal momento che il $\Delta$ dell'equazione associata è positivo (quindi ci sono 2 intersezioni con gli assi).
Confermo, infatti dopo aver fatto denominatore comune:
$x^2-10x+3>=0$ che porta facilmente a $Delta=100-12=88$.
Siamo sicuri che il testo sia corretto?
$x^2-10x+3>=0$ che porta facilmente a $Delta=100-12=88$.
Siamo sicuri che il testo sia corretto?
Il testo è corretto... dev'essere l'ennesimo errore del libro... che segnalo alla redazione, infatti si tratta dell'ebook Algebra 1 di questo sito...
"phi.89":
Il testo è corretto... dev'essere l'ennesimo errore del libro... che segnalo alla redazione, infatti si tratta dell'ebook Algebra 1 di questo sito...
Sicuramente ti saranno grati della segnalazione: ora basta attendere solo un moderatore/amministratore che legga questa discussione.
22.15. Trova l’Insieme Soluzione delle seguenti disequazioni.
a ) \(\displaystyle \frac{1}{2}(3x - \frac{1}{3}) - \frac{1}{3}(1+x)(1-x)+3(\frac{1}{3}x - 1)^2 \ge 0 \)
\(\displaystyle \frac{3}{2}x - \frac{1}{6} - \frac{1}{3}(1 - x^2) + 3(\frac{1}{9}x^2 - \frac{2}{3}x + 1) \ge 0 \)
\(\displaystyle \frac{3}{2}x - \frac{1}{6} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x^2 - 2x + 3 \ge 0 \)
\(\displaystyle \frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{15}{6} \ge 0 \)
Disequazione di secondo grado con delta negativo...
Soluzione del libro: \(\displaystyle \mathbb R \)
a ) \(\displaystyle \frac{1}{2}(3x - \frac{1}{3}) - \frac{1}{3}(1+x)(1-x)+3(\frac{1}{3}x - 1)^2 \ge 0 \)
\(\displaystyle \frac{3}{2}x - \frac{1}{6} - \frac{1}{3}(1 - x^2) + 3(\frac{1}{9}x^2 - \frac{2}{3}x + 1) \ge 0 \)
\(\displaystyle \frac{3}{2}x - \frac{1}{6} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x^2 - 2x + 3 \ge 0 \)
\(\displaystyle \frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{15}{6} \ge 0 \)
Disequazione di secondo grado con delta negativo...
Soluzione del libro: \(\displaystyle \mathbb R \)
Regola, anzi REGOLA:
se un trinomio ha $Delta$ negativo il suo segno segue il segno del primo coefficiente (cioè quello del termine di secondo grado).
In formule, se $$ax^2+bx+c \quad : \quad b^2-4ac < 0$$ allora $$a\left(a{x^*}^2 + bx^* + c\right) > 0 \quad \forall x^* \in \mathbb{R}$$
se un trinomio ha $Delta$ negativo il suo segno segue il segno del primo coefficiente (cioè quello del termine di secondo grado).
In formule, se $$ax^2+bx+c \quad : \quad b^2-4ac < 0$$ allora $$a\left(a{x^*}^2 + bx^* + c\right) > 0 \quad \forall x^* \in \mathbb{R}$$
"phi.89":
Disequazione di secondo grado con delta negativo...
Soluzione del libro: \(\displaystyle \mathbb R \)
Se è questo a non esserti chiaro, pensa a due fatti sulle parabole.
- il coefficiente di $x^2$ è positivo, dunque la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto (in altre parole è una $\cup$, non $\cap$)
- non ha intersezioni con l'asse $x$
ergo... la parabola è sempre sopra l'asse $x$ quindi assumerà valori sempre positivi.
@ phi.89
Lavorare con le frazioni è lecito ma scomodo; quando i denominatori sono positivi conviene dare denominatore comune e trascurare il denominatore. Quindi, arrivato a
\(\displaystyle \frac{3}{2}x - \frac{1}{6} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x^2 - 2x + 3 \ge 0 \)
era meglio dare denominatore comune, che è $6$, e scrivere
$9x-1-2+2x^2+2x^2-12x+18>0$
e continuare da lì. Si poteva anche dare denominatore comune prima: è questione di gusti.
Lavorare con le frazioni è lecito ma scomodo; quando i denominatori sono positivi conviene dare denominatore comune e trascurare il denominatore. Quindi, arrivato a
\(\displaystyle \frac{3}{2}x - \frac{1}{6} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x^2 - 2x + 3 \ge 0 \)
era meglio dare denominatore comune, che è $6$, e scrivere
$9x-1-2+2x^2+2x^2-12x+18>0$
e continuare da lì. Si poteva anche dare denominatore comune prima: è questione di gusti.
Quando in una disequazione tutti i termini con la x si semplificano, come procedere?
Solitamente ti trovi in queste situazioni:
$0x<=k$
$0x
$0x>k$
la disequazione sarà impossibile o sempre verificata a seconda di quello che hai nel membro a destra.
$0x<=k$
$0x
$0x>k$
la disequazione sarà impossibile o sempre verificata a seconda di quello che hai nel membro a destra.
Ne concludi che il valore di $x$ non ha importanza e che la disequazione è sempre vera o sempre falsa; ad esempio
- se hai ottenuto $8>=0$ è sempre vera;
- se ha ottenuto $2>7$ è sempre falsa.
- se hai ottenuto $8>=0$ è sempre vera;
- se ha ottenuto $2>7$ è sempre falsa.
22.48
b ) \(\displaystyle x^2 - 2x +1 + x(x^2 - 2x + 1) < 0 \)
\(\displaystyle (1 + x)(x^2 - 2x + 1) < 0 \)
\(\displaystyle (1 + x)(x - 1)(x - 1) < 0 \)
\(\displaystyle (1 + x)(x - 1)^2 < 0 \)
\(\displaystyle x < - 1 ; x < 1 \)
Soluzione: \(\displaystyle - 1 < x < 1 \)
Soluzione del libro: \(\displaystyle x < - 1 \)
c ) \(\displaystyle x^3 - 2x^2 - x + 2 \ge 0 \)
\(\displaystyle (x^2 - x - 2)(x - 1) \ge 0 \)
\(\displaystyle (x - 1)(x + 2)(x - 1) \ge 0 \)
\(\displaystyle (x - 1)^2(x + 2) \ge 0 \)
\(\displaystyle x \ge 1 ; x \ge -2 \)
Soluzione: \(\displaystyle x \le - 2 \vee x \ge 1 \)
Soluzione del libro: \(\displaystyle - 1 \le x \le 1 \vee x \ge 2 \)
Le ho controllate molte volte ma non riesco a capire dove ho sbagliato...
b ) \(\displaystyle x^2 - 2x +1 + x(x^2 - 2x + 1) < 0 \)
\(\displaystyle (1 + x)(x^2 - 2x + 1) < 0 \)
\(\displaystyle (1 + x)(x - 1)(x - 1) < 0 \)
\(\displaystyle (1 + x)(x - 1)^2 < 0 \)
\(\displaystyle x < - 1 ; x < 1 \)
Soluzione: \(\displaystyle - 1 < x < 1 \)
Soluzione del libro: \(\displaystyle x < - 1 \)
c ) \(\displaystyle x^3 - 2x^2 - x + 2 \ge 0 \)
\(\displaystyle (x^2 - x - 2)(x - 1) \ge 0 \)
\(\displaystyle (x - 1)(x + 2)(x - 1) \ge 0 \)
\(\displaystyle (x - 1)^2(x + 2) \ge 0 \)
\(\displaystyle x \ge 1 ; x \ge -2 \)
Soluzione: \(\displaystyle x \le - 2 \vee x \ge 1 \)
Soluzione del libro: \(\displaystyle - 1 \le x \le 1 \vee x \ge 2 \)
Le ho controllate molte volte ma non riesco a capire dove ho sbagliato...
Ciao!
Come hai ragionato qui?
Stessa domanda di sopra.
Dimmi/dicci che ragionamento hai fatto tra quei due passaggi che ho quotato (in entrambi i casi).
"phi.89":
22.48
[...]
\(\displaystyle (1 + x)(x - 1)^2 < 0 \)
\(\displaystyle x < - 1 ; x < 1 \)
Come hai ragionato qui?
"phi.89":
\(\displaystyle (x - 1)^2(x + 2) \ge 0 \)
\(\displaystyle x \ge 1 ; x \ge -2 \)
Stessa domanda di sopra.
Dimmi/dicci che ragionamento hai fatto tra quei due passaggi che ho quotato (in entrambi i casi).
Per la prima è semplice: ti chiedi quando il prodotto di due fattori sia strettamente minore di $0$ ma uno dei due fattori è sempre $>=0$ perché è un quadrato. Quindi l'altro fattore come dovrà essere?
EDIT. Risposta in contemporanea a Zero87, che saluto!
EDIT. Risposta in contemporanea a Zero87, che saluto!
"minomic":
EDIT. Risposta in contemporanea a Zero87, che saluto!
Un saluto anche a te, minomic!
Comunque abbiamo risposto in contemporanea, ma abbiamo analizzato la cosa sotto due punti di vista diversi e entrambi giusti.
Cioè, per il mio, volevo vedere come aveva agito phi.89 in quei due passaggi per poi dirle quello che hai detto tu oppure - più lungo ma più elementare, diciamo - di considerare nello studio del segno tutti i singoli termini (quindi di dividere il quadrato in un prodotto di due fattori uguali).
Dunque, vediamo se ho capito qualcosa. Nella prima il quadrato è sempre positivo quindi non è mai minore di 0 e traccio una linea tratteggiata sotto la retta, poi l'altra soluzione è \(\displaystyle x < - 1 \) e la traccio sotto la retta. Poi prendo i segni negativi e la soluzione è \(\displaystyle x < - 1 \). Ok?
Per la seconda non capisco perché la soluzione del quadrato è \(\displaystyle x \ge 1 \) e l'altra \(\displaystyle x \ge - 2 \), poi le riporto sotto la retta e prendo i segni positivi e mi viene \(\displaystyle x \le - 2 \vee x \ge 1 \)...
Per la seconda non capisco perché la soluzione del quadrato è \(\displaystyle x \ge 1 \) e l'altra \(\displaystyle x \ge - 2 \), poi le riporto sotto la retta e prendo i segni positivi e mi viene \(\displaystyle x \le - 2 \vee x \ge 1 \)...
Hai raccolto male nella seconda ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"phi.89":
Dunque, vediamo se ho capito qualcosa. Nella prima il quadrato è sempre positivo quindi non è mai minore di 0 e traccio una linea tratteggiata sotto la retta, poi l'altra soluzione è \(\displaystyle x < - 1 \) e la traccio sotto la retta. Poi prendo i segni negativi e la soluzione è \(\displaystyle x < - 1 \). Ok?
Ok (questo è il ragionamento di minomic... che non saluto più - lo lascio implicito!
- sennò mi sa che qualcuno inizia a stufarsi e ci becchiamo bacchettate dai moderatori 
).Piuttosto, mi incuriosisce
"phi.89":
Nella prima il quadrato è sempre positivo quindi non è mai minore di 0 e traccio una linea tratteggiata sotto la retta
in genere si usa la tratteggiata per le cose negative e la linea continua per quelle positive. Comunque fai come vuoi, l'importante è che capisci come vanno fatti e, di conseguenza, ti riportano.
"Zero87":
La seconda è come la prima, c'è un quadrato nella prima... c'è un quadrato nella seconda.
"La soluzione del quadrato" è che è sempre positivo o nullo.
Allora se è sempre positivo la soluzione mi viene \(\displaystyle x \ge - 2 \) e non mi ritrovo...
Come diceva Alex nella seconda hai raccolto male. In particolare $$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$$
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