Disequazione...dubbi sul verso del segno
una disequazione simile mi è capitata sul compito e volevo un chiarimento avendo avuto $(1/2)^((x^2-x+4)/(2x-1))<4^(-1)$ mi svolgo la mia disequazione per trovarmi l'insieme delle soluzioni...una cosa che non mi è molto chiara è: devo cambiare il verso della disequazione(e quindi tenere in considerazione la soluzioni esterne)?se si perchè?
Risposte
"silvia_85":
una disequazione simile mi è capitata sul compito e volevo un chiarimento avendo avuto $(1/2)^((x^2-x+4)/(2x-1))<4^(-1)$ mi svolgo la mia disequazione per trovarmi l'insieme delle soluzioni...una cosa che non mi è molto chiara è: devo cambiare il verso della disequazione(e quindi tenere in considerazione la soluzioni esterne)?se si perchè?
Si inverte il verso perché la base - \(\displaystyle 1/2 \) - è maggiore di zero e minore di uno.
quindi per qualsiasi base $>0$ si cambia il verso.....e quindi per le soluzioni dobbiamo considerare il nuovo verso?
Io ti proporrei di fare così ....
$(1/2)^((x^2-x+4)/(2x-1))<4^(-1)$
$(1/2)^((x^2-x+4)/(2x-1))<1/4$
$1/2^((x^2-x+4)/(2x-1))<1/2^2$
$2^2<2^((x^2-x+4)/(2x-1))$
$2<(x^2-x+4)/(2x-1)$
$(x^2-x+4)/(2x-1)-2>0$
$(x^2-x+4-2(2x-1))/(2x-1)>0$
$(x^2-5x+6)/(2x-1)>0$
$((x-2)(x-3))/(2x-1)>0$
A questo punto farei una tabella dei segni dei diversi fattori:
$|( , 1/2, , 2, , 3, , ),( -, \|, -, \|, +, \|, +, x-2),( -, \|, -, \|, -, \|, +, x-3),( -, \|, +, \|, +, \|, +, 2x-1), ( -, \|, +, \|, -, \|, +, ((x-2)(x-3))/(2x-1))|$.
Poiché si cerca per quali valori della $x$ il rapporto è $>0$, si scelgono le regioni con il $+$. Quindi le soluzioni sono $1/23$.
$(1/2)^((x^2-x+4)/(2x-1))<4^(-1)$
$(1/2)^((x^2-x+4)/(2x-1))<1/4$
$1/2^((x^2-x+4)/(2x-1))<1/2^2$
$2^2<2^((x^2-x+4)/(2x-1))$
$2<(x^2-x+4)/(2x-1)$
$(x^2-x+4)/(2x-1)-2>0$
$(x^2-x+4-2(2x-1))/(2x-1)>0$
$(x^2-5x+6)/(2x-1)>0$
$((x-2)(x-3))/(2x-1)>0$
A questo punto farei una tabella dei segni dei diversi fattori:
$|( , 1/2, , 2, , 3, , ),( -, \|, -, \|, +, \|, +, x-2),( -, \|, -, \|, -, \|, +, x-3),( -, \|, +, \|, +, \|, +, 2x-1), ( -, \|, +, \|, -, \|, +, ((x-2)(x-3))/(2x-1))|$.
Poiché si cerca per quali valori della $x$ il rapporto è $>0$, si scelgono le regioni con il $+$. Quindi le soluzioni sono $1/2
ti ringrazio chiarotta....ma non volevo svolto l'esercizio....quello lo so fare....volevo solo capire il comportamento del segno 
"silvia_85":
quindi per qualsiasi base $>0$ si cambia il verso.....
No. Ho scritto maggiore di zero e minore di uno.
e se fosse stata $>1$?
Se fosse stata maggiore di \(\displaystyle 1 \) avresti dovuto lasciare lasciare il segno inalterato. Ma poi, pensaci su, son domande a cui potresti risponderti benissimo da sola: se \(\displaystyle b \) è una base maggiore di \(\displaystyle 1 \), la disequazione \(\displaystyle b^{f(x)} > b^{g(x)} \) è verificata quando il primo esponente è maggiore del secondo.
Ma se \(\displaystyle 0 < b <1 \), quando l'esponente cresce il "valore globale" di \(\displaystyle b^{f(x)} \) diminuisce, quindi \(\displaystyle b^{f(x)} > b^{g(x)} \) è verificata quando \(\displaystyle f(x) < g(x) \).
EDIT: improprietà linguistica.
Ma se \(\displaystyle 0 < b <1 \), quando l'esponente cresce il "valore globale" di \(\displaystyle b^{f(x)} \) diminuisce, quindi \(\displaystyle b^{f(x)} > b^{g(x)} \) è verificata quando \(\displaystyle f(x) < g(x) \).
EDIT: improprietà linguistica.
grazie del chiarimento teorico 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo