Disequazione un pò complicata
ho la seguenta disequazione
$(1/2)^(sqrt((x^2-4)/(x+1/4)))<=1/4$
e il testo mi chiede l'insieme delle soluzioni...io per prima cosa mi sono trovata le soluzioni di $x^2-4>0$ che sono $-4>x<4$ dopo mi sono trovata la soluzione di $x+1/4>0$ ed è $x< -1/4$....tutto quello che ho fatto è giusto come inizio???
$(1/2)^(sqrt((x^2-4)/(x+1/4)))<=1/4$
e il testo mi chiede l'insieme delle soluzioni...io per prima cosa mi sono trovata le soluzioni di $x^2-4>0$ che sono $-4>x<4$ dopo mi sono trovata la soluzione di $x+1/4>0$ ed è $x< -1/4$....tutto quello che ho fatto è giusto come inizio???
Risposte
qualcuno può darmi una mano per questa disequazione?
Facciamola più semplice: se tu avessi avuto $(1/2)^y<=1/4$ come avresti risolto?
avrei prima svolto l'elevazione a potenza, poi portavo tutto in un membro e mi svolgevo la mia disequazione
Non capisco cosa vuoi dire con "avrei svolto l'elevazione a potenza"... MI fai i calcoli? (tutti)
scusa mi sono confusa...riflettendeci bene questa disequazione me la devo svolgere come se fosse $x^2>=6$?
Ripeto: mi svolgi $(1/2)^y <= 1/4$?
Non c'è $x$, c'è $y$. E' una disequazione esponenziale.
Non c'è $x$, c'è $y$. E' una disequazione esponenziale.
$(1/2)^(y)<=(1/2)^log(1/4)$
No. Molto più semplicemente, $1/4$ è uguale a $(1/2)^2$. Dunque abbiamo $(1/2)^y <= (1/2)^2$ .
Notiamo che la base è la stessa da entrambe le parti (ed è $1/2$, quindi è compresa tra $0$ e $1$),
dunque la disequazione è equivalente a $y>=2$ (nota che ho cambiato il verso)
Quindi, in soldoni, la tua disequazione di partenza, e cioè
\[
{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{\frac{x^2-4}{x+\frac{1}{4}}}} \leq \frac{1}{4}
\]
è equivalente a
\[
\sqrt{\frac{x^2-4}{x+\frac{1}{4}}} \geq 2
\]
Notiamo che la base è la stessa da entrambe le parti (ed è $1/2$, quindi è compresa tra $0$ e $1$),
dunque la disequazione è equivalente a $y>=2$ (nota che ho cambiato il verso)
Quindi, in soldoni, la tua disequazione di partenza, e cioè
\[
{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{\frac{x^2-4}{x+\frac{1}{4}}}} \leq \frac{1}{4}
\]
è equivalente a
\[
\sqrt{\frac{x^2-4}{x+\frac{1}{4}}} \geq 2
\]
hai cambiato verso perchè la y è compresa tra 0 e 1 è quindi la soluzione di questa disequazione!
posso provare allora a continuare io la disequazione?
dimmi se sbaglio...a questo punto mi porto tutto allo stesso membro e ottengo $sqrt((x^2-2x-9/2)/(x+1/4))>=0$ giusto?
dimmi se sbaglio...a questo punto mi porto tutto allo stesso membro e ottengo $sqrt((x^2-2x-9/2)/(x+1/4))>=0$ giusto?
Ho cambiato verso perché la base (e cioè $1/2$) è compresa tra $0$ e $1$. Cosa c'entre $y$?
Ma li leggi i miei interventi?
Ps: ho aggiunto un appunto al mio intervento precedente: ho scritto a cosa è equivalente la disequazione di partenza.
Ora dovresti saperla risolvere da sola
Ma li leggi i miei interventi?
"Gi8":
...Notiamo che la base è la stessa da entrambe le parti (ed è $1/2$, quindi è compresa tra $0$ e $1$), ...
Ps: ho aggiunto un appunto al mio intervento precedente: ho scritto a cosa è equivalente la disequazione di partenza.
Ora dovresti saperla risolvere da sola
"silvia_85":Certo
posso provare allora a continuare io la disequazione?
"silvia_85":No, sbagli. Non puoi portare dentro la radice quadrata
dimmi se sbaglio...a questo punto mi porto tutto allo stesso membro e ottengo $sqrt((x^2-2x-9/2)/(x+1/4))>=0$ giusto?
Che cos'è questa?
\[\sqrt{\frac{x^2-4}{x+\frac{1}{4}}} \geq 2\]
E' una disequazione irrazionale,
dunque per affrontarla bisogna conoscere il metodo di risoluzioni delle disequazioni irrazionali.
Tu lo conosci? Se sì, scrivilo. Se no, non capisco perché ti ostini a fare delle cose che non conosci
per risolverla devo elevare il secondo membro a 2...perchè 2 è la radice quadrata del primo membro
Esatto. Si ottiene pertanto $(x^2-4)/(x+1/4) >= 4$
Portando al primo membro si ha $(x^2-4-4x-1)/(x+1/4)>=0$,
cioè $(x^2-4x-5)/(x+1/4)>=0$, che ha soluzione...
Portando al primo membro si ha $(x^2-4-4x-1)/(x+1/4)>=0$,
cioè $(x^2-4x-5)/(x+1/4)>=0$, che ha soluzione...
$x^2-4x-5>=0$ ha come soluzioni $x>=5, x<=-1$ mentre $x+1/4>=0$ ha come soluzione $x>=-1/4$ quindi possiamo dire che la soluzione finale (sovrapponendo le soluzioni) di questa disequazione è $[-1<=x<=-1/4] uu [5<=x<= + oo[$ giusto?
Sì, la soluzione è (quasi) quella: $-1<=x< -1/4 uu x>=5$.
Ora la devi confrontare con le condizioni di esistenza trovate all'inizio
Ora la devi confrontare con le condizioni di esistenza trovate all'inizio
si le soluzioni sono accettate....perchè $x^2-4>=0$ C.E. $x>=2,x<= -2$ e invece $x-1/4>=0$ C.E. $x>= -1/4$ quindi rientrano nel campo di esistenza...ho dimenticato qualcosa?
Nella condizione di esistenza c'è $x> -1/4$, non $x>= -1/4$. Non si può avere $x= -1/4$ perchè altrimenti abbiamo un denominatore nullo.
Per il resto, tutto corretto. La soluzione finale è proprio $-1<= x < -1/4 vv x>=5$
Per il resto, tutto corretto. La soluzione finale è proprio $-1<= x < -1/4 vv x>=5$
a già vero!!!....grazie dell'aiuto....poi se trovi un attimo di tempo puoi guardare un post che che ho scritto sulle matrici? ho un dubbio
Ma ti costa così tanto linkarmelo? Devo cercarmelo da solo?
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