Disequazione trigonometrica tangente e cotangente

[first100]

$tgx+cotgx<2$

Arrivo ad una disequazione fratta con al numeratore :
$tgx>1$ ed ha soluzione : $ pi/4 < x < pi/2 + 5pi/4 < x < 3pi/2 $

al denominatore :
$senxcosx$ ed ha soluzione : $ 0< x < pi/2 + pi < x < 3pi/2 $

e allora le soluzioni sarebbere secondo me :

$ 0< x < pi/4 + pi < x < 5pi/4 $

Cioè dove ho i segni discordi in quanto la disequazione è minore di 0

non metto la periodicità per chiarezza , ma il libro riporta come soluzione :

$ pi/2 < x < pi $ che non corrisponde alla mia

Dove è che sbaglio?

Grazie.

[chiaraotta1]

$tgx+cotgx<2->(sin x)/(cos x)+(cos x)/(sin x)-2<0->(sin^2x+cos^2x-2sin x cos x)/(sin x cos x)<0->2(1-sin2 x)/(sin2 x)<0$
Poiché $1-sin2x$ non è mai $<0$, il rapporto $(1-sin2 x)/(sin2 x)$ è $<0$ se il denominatore è $<0$. Quindi la disequazione è equivalente a $sin2x<0$. Questa è soddisfatta se $pi+2kpi<2x<2pi+2kpi->pi/2+kpi

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[first100]

Ciao , grazie per la tua risposta io avevo sviluppato il numeratore così:
faccio la radice quadrata a destra e sinistra ottengo :

$ (sen x - cos x) < 0 $

divido tutto per $ cos x $

$ tg x -1 < 0 $

e quindi :

$ tg x > 1 $

perchè questo procedimento è errato ?

[chiaraotta1]

Se ragioni così
$(sin^2x+cos^2x-2sin x cos x)/(sin x cos x)<0->(sin x-cos x)^2/(sin x cos x)<0$,
allora, a parte il fatto che non esiste la radice quadrata di numeri $<0$, non è vero che $sqrt((sin x-cos x)^2/(sin x cos x))=sin x -cos x$.
Poi non è vero che $sin x -cos x<0$ sia equivalente a $tanx-1<0$: non puoi dividere una disequazione per una grandezza ($cosx$) di cui non sai il segno.
E infine non è vero che, se $tanx-1<0$, allora sia $tan x>1$: invece è $tanx<$1.

[first100]

Ho capito però mi sorge un altro dubbio ma apro un altro thread perchè cambia esercizio