Disequazione Trigonometrica Modulare
Salve a tutti, devo risolvere la seguente disequazione trigonometrica modulare
$ |2sinx -1| >= 2sinx +1 $
E io ragiono come segue: la disequazione precedente equivale risolvere un sistema formato dalle due disequazioni
$1. 2sinx -1 <= - (2sinx +1) $ che ha come risultato $\pi <=x<=2\pi$
$2. 2sinx - 1 >= 2sinx +1 $ che è impossibile, giusto? perchè equivale a $ -1 >= 1 $
Quindi se il mio ragionamento è corretto, questa disequazione non ammette soluzioni perchè non esistono soluzioni comuni ad entrambe se la seconda è impossibile (dato che devo risolvere un sistema).
Nonostante ciò, risolvendola su wolfram, mi da come risultato le soluzioni della prima disequazione, perchè? Dove sbaglio? Forse è uno stupido errore di distrazione. P.S. Ho evitato di aggiungere la periodicità alle soluzioni per brevità.
$ |2sinx -1| >= 2sinx +1 $
E io ragiono come segue: la disequazione precedente equivale risolvere un sistema formato dalle due disequazioni
$1. 2sinx -1 <= - (2sinx +1) $ che ha come risultato $\pi <=x<=2\pi$
$2. 2sinx - 1 >= 2sinx +1 $ che è impossibile, giusto? perchè equivale a $ -1 >= 1 $
Quindi se il mio ragionamento è corretto, questa disequazione non ammette soluzioni perchè non esistono soluzioni comuni ad entrambe se la seconda è impossibile (dato che devo risolvere un sistema).
Nonostante ciò, risolvendola su wolfram, mi da come risultato le soluzioni della prima disequazione, perchè? Dove sbaglio? Forse è uno stupido errore di distrazione. P.S. Ho evitato di aggiungere la periodicità alle soluzioni per brevità.
Risposte
"simki":
|2sinx−1|≥2sinx+1
E io ragiono come segue: la disequazione precedente equivale risolvere un sistema formato dalle due disequazioni...
La soluzione della disequazione è l'unione delle soluzioni dei due sistemi:
${(2senx-1>=0),(2senx-1>=2senx+1):}$
${(2senx-1<0),(2senx-1<=-(2senx+1)):}$
Hai ragione! Grazie!
Scusami, ma perchè è invece inutile utilizzare due sistemi quando si ha un $<=$? Come per esempio per la disequazione $|4sin^2x-1|<=2$
Chi ha detto che è inutile? No che non lo è, però ci sono modi che scontano alcuni ragionamenti: ci si può costruire (con l'esercizio) dei "paradigmi" mentali che permettono di fare alcuni passaggi mentalmente, senza scriverli su carta.
Per esempio, nel caso si abbia $ |f(x)|<=a, a in RR^+ $, si può anche scrivere direttamente $-a<=f(x)<=+a$
O, ancora:
$|f(x)|>=a$ diventa immediatamente $f(x)<-a vv f(x)>+a$ (anche in questo caso, ovviamente, a è positivo).
Nel caso da te proposto:
$ |4sin^2x-1|<=2 $, pertanto:
$-2<=4sin^2(x)-1<=+2$
Da cui segue:
$-1<=4*sin^2(x)<=3$
Di conseguenza:
$-1/4<=sin^2(x)<=3/4$
Il che è equivalente a scrivere il sistema:
$\{(sin^2(x)>=-1/4),(sin^2(x)<=3/4):}$ $\rightarrow$ $\{(x in RR),(-sqrt(3)/2<=sin(x)<=+sqrt(3)/2):}$
La soluzione è pertanto:
$-pi/3+kpi<=x<=+pi/3+kpi$
Ciao.
Per esempio, nel caso si abbia $ |f(x)|<=a, a in RR^+ $, si può anche scrivere direttamente $-a<=f(x)<=+a$
O, ancora:
$|f(x)|>=a$ diventa immediatamente $f(x)<-a vv f(x)>+a$ (anche in questo caso, ovviamente, a è positivo).
Nel caso da te proposto:
$ |4sin^2x-1|<=2 $, pertanto:
$-2<=4sin^2(x)-1<=+2$
Da cui segue:
$-1<=4*sin^2(x)<=3$
Di conseguenza:
$-1/4<=sin^2(x)<=3/4$
Il che è equivalente a scrivere il sistema:
$\{(sin^2(x)>=-1/4),(sin^2(x)<=3/4):}$ $\rightarrow$ $\{(x in RR),(-sqrt(3)/2<=sin(x)<=+sqrt(3)/2):}$
La soluzione è pertanto:
$-pi/3+kpi<=x<=+pi/3+kpi$
Ciao.
Sisi grazie mille, fin qui ci sono 
In realtà ripensandoci non ha proprio senso porre un sistema (come, confondendomi, pensavo all'inizio) del tipo
$ \{(A(x) > k), (A(x) < -k):} $ da $ |A(x)|>k $
Perchè è naturale che non avrebbe nessuna soluzione, come fanno cioè delle soluzioni a rispettare contemporaneamente queste condizioni.
In realtà ripensandoci non ha proprio senso porre un sistema (come, confondendomi, pensavo all'inizio) del tipo
$ \{(A(x) > k), (A(x) < -k):} $ da $ |A(x)|>k $
Perchè è naturale che non avrebbe nessuna soluzione, come fanno cioè delle soluzioni a rispettare contemporaneamente queste condizioni.
"simki":
Sisi grazie mille, fin qui ci sono
In realtà ripensandoci non ha proprio senso porre un sistema del tipo...
... è naturale che non avrebbe nessuna soluzione...
Non ha senso un simile sistema non perché non ha soluzioni ma perché è fuori da ogni logica.
Qual è il significato del modulo? E' questo che devi tener presente ed agire di conseguenza.
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