Disequazione trigonometrica elementare

[Danying]

$2senx>0$

se il
$senx>0$ per $0


$2senx>0$ ho letto che la soluzione è $ 2 kpi
ma sinceramente non l'ho capita molto, in termini di gradi quando 2cosx è maggiore di zero ?

[Lorin1]

Ha semplicemente aggiunto il periodo della funzione seno, che tra l'altro è lo stesso della funzione coseno

[Danying]

"Lorin":Ha semplicemente aggiunto il periodo della funzione seno, che tra l'altro è lo stesso della funzione coseno

in una disequazione del genere

$2senxcos2x>0$


posso studiarla separatamente ... non considerando il 2 ?


cioè

1)$ senx>0
2) $cos2x>0

ed unire le soluzioni....? ho provato così e pi risulta da $ 0
però dal grafico di questa funzione è positiva per altre ascisse..

[Nicole931]

certo che non devi considerare il 2, in quanto si tratta di un prodotto
è giusto quindi studiare separatamente il segno dei due fattori

io consiglio sempre di utilizzare il metodo grafico, basato sulla rappresentazione delle soluzioni sulla circonferenza goniometrica; nel tuo caso però , poichè hai $cos2x$ e non $cosx$, è opportuno che prima tu risolvi la disequazione (sempre graficamente) rispetto a 2x; trovi quindi la soluzione $-pi/2 < 2x < pi/2$
a questo punto devi dividere tutto per 2, e quindi avrai:
$ -pi/4 < x < pi/4$

ora puoi disegnare due circonferenze concentriche ; su una evidenzi l'arco corrispondente alle soluzioni di $senx>0$ , sulla seconda l'arco corrispondente alla soluzione che ti ho scritto

infine fai il prodotto dei segni e prendi gli archi in cui il prodotto è positivo

non ho aggiunto la periodicità perchè mi sembra di capire che non sei abituato a metterla

[Danying]

"Nicole93":certo che non devi considerare il 2, in quanto si tratta di un prodotto
è giusto quindi studiare separatamente il segno dei due fattori

io consiglio sempre di utilizzare il metodo grafico, basato sulla rappresentazione delle soluzioni sulla circonferenza goniometrica; nel tuo caso però , poichè hai $cos2x$ e non $cosx$, è opportuno che prima tu risolvi la disequazione (sempre graficamente) rispetto a 2x; trovi quindi la soluzione $-pi/2 < 2x < pi/2$
a questo punto devi dividere tutto per 2, e quindi avrai:
$ -pi/4 < x < pi/4$

ora puoi disegnare due circonferenze concentriche ; su una evidenzi l'arco corrispondente alle soluzioni di $senx>0$ , sulla seconda l'arco corrispondente alla soluzione che ti ho scritto

infine fai il prodotto dei segni e prendi gli archi in cui il prodotto è positivo

non ho aggiunto la periodicità perchè mi sembra di capire che non sei abituato a metterla

il risultato con la periodicitià $[0 , 2 pi]$ mi risulta quello che ho scritto nel primo post, ma osservando il grafico della funzione ...non c'entra niente !

[Lorin1]

Io di solito li metto in falso sistema....mi risulta più facile lo studio.

[Danying]

"Lorin":Io di solito li metto in falso sistema....mi risulta più facile lo studio.

cosa intendi per " falso sistema" ?


io ho fatto semplicemente il prodotto dei segni per arrivare alla soluzione finale ecco..

[Lorin1]

studiare separatamente le due disequazioni e poi leggere i segni, anzichè le linee continue del sistema normale.

[Danying]

"Lorin":studiare separatamente le due disequazioni e poi leggere i segni, anzichè le linee continue del sistema normale.

capito...
ma allora come ho fatto io ?

con le semplici regole del prodotto cartesiano ......






ripeto; ho controllato la positività della suddetta funzione e non mi risulta con il grafico ....

[Lorin1]

prodotto cartesiano?

[Danying]

"Lorin":prodotto cartesiano?

mi sono espresso male forse

sorry;

volevo dire
regola sei desgni

$(+)*(-)= -$

$ (-)*(-)= +$

cmq lorin, potresti aiutarmi per la soluzione di questa diseguaglianza =?

[Lorin1]

Beh io come prodotto cartesiano l'ho sempre definito a livello insiemistico. Cioè presi due insiemi $A,B$ si definisce prodotto cartesiano $AxB={(a,b) : a in A, b in B}$

[Danying]

"Lorin":Beh io come prodotto cartesiano l'ho sempre definito a livello insiemistico. Cioè presi due insiemi $A,B$ si definisce prodotto cartesiano $AxB={(a,b) : a in A, b in B}$

si infatti mi sono corretto, perchè ho detto una castroneria!


ritornando IN T_


.... a te risulta come me la disuguaglianza ?

[Lorin1]

io la chiamerei disequazione....non disuguglianza...
per la risoluzione se aspetti un attimo che sto finendo una cosa.

[Danying]

"Lorin":io la chiamerei disequazione....non disuguglianza...
per la risoluzione se aspetti un attimo che sto finendo una cosa.

no problem lorin!

senza impegno..... è solo che mi sto scervellando perchè le soluzioni non mi coincidano con la positività "grafico" della funzione....

[Lorin1]

Allora seguendo lo schema del falso sistema dovremmo avere due disequazioni che per comodità chiamerò 1) e 2):

1) $sinx>0 => 0
2) $cos2x>0 => 0<2x<(\pi)/2 uu 3/2\pi<2x<2\pi => 0
quindi mettendo sul grafico e prendendo le soluzioni positive, in quanto il segno della disequazione è $>$ avremmo:

$0

Cita

Segnala

[Danying]

"Lorin":Allora seguendo lo schema del falso sistema dovremmo avere due disequazioni che per comodità chiamerò 1) e 2):

1) $sinx>0 => 0
2) $cos2x>0 => 0<2x<(\pi)/2 uu 3/2\pi<2x<2\pi => 0
quindi mettendo sul grafico e prendendo le soluzioni positive, in quanto il segno della disequazione è $>$ avremmo:

$0

Questa soluzione è valida per il periodo $ [ 0 , pi] $


io non conosco il grafico della funzione, ne ho potuto estrapolare un ideazione da:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2sinxcos(2x)

e sembra a vista che coincida con la soluzione per il periodo da me citato...


se così fosse, perchè io non mi fido mai al 100% di questi strumenti online anche se hanno una potenzialità elevata...

come mai se la funzione $2senxcos2x$ ha palesemente periodo $[0, 2 pi]$ la soluzione della positività viene espressa solo per $ [ 0 , pi]$ ?

grazie lorin

[giammaria2]

Nicole93 e Lorin sono due persone competenti; mi stupisce che entrambi trascurino il fatto che quando l'angolo è $2x$ è indispensabile tener conto della periodicità. Mi rifaccio alla soluzione di Nicole93, che è la più rapida da scrivere, e considero la sola disequazione
$cos2x>0$
Soluzione: $-pi/2+2kpi<2x-pi/4+k pi La periodicità è $pi$, quindi sul cerchio goniometrico noto due intervalli risolutivi; uno di essi si spezza se voglio le soluzioni comprese fra $0$ e $2pi$, che sono
$(0<=x Per il resto, nessuna obiezione.

[Nicole931]

@ giammaria : certo che si deve tener conto della periodicità, e quindi hai ragione tu nello specificare che, nel caso del coseno , si deve dimezzare il periodo

in effetti, è proprio perchè uso sempre la periodicità che non ho pensato di scrivere a mat100 anche il secondo intervallo, e di questo mi scuso, perchè in effetti si tratta di una imperdonabile dimenticanza

[Danying]

"giammaria":Nicole93 e Lorin sono due persone competenti; mi stupisce che entrambi trascurino il fatto che quando l'angolo è $2x$ è indispensabile tener conto della periodicità. Mi rifaccio alla soluzione di Nicole93, che è la più rapida da scrivere, e considero la sola disequazione
$cos2x>0$
Soluzione: $-pi/2+2kpi<2x-pi/4+k pi La periodicità è $pi$, quindi sul cerchio goniometrico noto due intervalli risolutivi; uno di essi si spezza se voglio le soluzioni comprese fra $0$ e $2pi$, che sono
$(0<=x Per il resto, nessuna obiezione.

grazie a tutti!

in poche parole è come se l'arco prima si fa un giro in senso positivo cioè a dire in senso antiorario e poi un giro in senso orario cioè negativo con la periodicità di 45° gradi ogni 180 .

unendo i segni ora tutto TORNA !

woow

la funzione $ 2senxcos(2x)$ è positiva per $0
adesso è giustissimo, ho confrontato anche con il grafico di wolframalpha, anche se la non ci sono gli intervalli precisi si capisce che la soluzione è quella!

[giammaria2]

"mat100": in poche parole è come se l'arco prima si fa un giro in senso positivo cioè a dire in senso antiorario e poi un giro in senso orario cioè negativo con la periodicità di 45° gradi ogni 180 .

In questo esercizio è così, ma per puro caso; il ragionamento generale è un altro. Supponiamo di aver trovato
$0+2kpi<2x0+k pi Cominci a riportare la soluzione fra $0$ e $pi/6$; poi noti che anche qui il periodo è $pi$, cioè mezzo giro, e copi la soluzione mezzo giro dopo, cioè fra $pi$ e $(7pi)/6$. Oppure dai dei valori a $k$: per $k=0$ trovi il primo intervallo; per $k=1$ trovi il secondo; per altri valori (interi) di $k$ ritrovi uno di questi due (se stai lavorando sul cerchio goniometrico) oppure esci dall'intervallo $(0, 2pi)$ (se stai lavorando con linee orizzontali).