Disequazione trigonometrica

[Yayoyoddu]

Devo risolvere la seguente disequazione:
$2(senx-cosx)>1-tgx$ con $0 Io ho risolto portando tutto al primo membro, raccolgo $1/cosx$ ed una volta finito ho fatto un nuovo raccoglimento con $senx$ e $-cosx$, alla fine dei vari passaggi arrivo ad una disequazione con tre fattori che ho risolto con un grafico dei segni valutando le possibili soluzioni.

Ora, il risultato è corretto, però ho la sensazione che ci sia un modo più veloce ed originale per farla.
Se avete un idea fatevi sentire.

Scusate anticipatamente se vi rompo i santissimi per una curiosità che forse è stupida ed anche perditempo.
Ho già provato a chiedere ad alcuni amici però nessuna risposta costruttiva quindi eccomi qua...

[Aethelmyth]

Provo. Moltiplichiamo ambo i membri per $(sinx + cosx)$ e otteniamo:
- $2(sin^2x - cos^2x)>sinx - (sin^2x)/cosx + cosx - sinx$ ovvero $-2cos(2x)>cos(2x)/cosx$ se $(sinx + cosx)>0$
- $-2cos(2x)
Il problema è che spuntano fuori un po' troppe condizioni perché possa essere considerato un metodo "facile", tant'è che preferisco fermarmi qui

[roxy3]

farei in questo modo
$2(senx-cosx)-(1-senx/cosx)>0$

$2(senx-cosx)-(cosx-senx)/(cosx)>0$
$2(senx-cosx)+(senx-cosx)/cosx>0$
$(senx-cosx)(2+1/cosx)>0$
$(senx-cosx)(2cosx+1)/(cosx)>0$


...... è uguale alla tua risoluzione?

[@melia]

Partendo dai calcoli di roxy aggiungerei
$(senx-cosx)(2cosx+1)/(cosx)>0$ portando il denominatore dentro al primo fattore
$(sinx/cosx-1)(2cosx+1)>0$ da cui $(tgx-1)(2cosx+1)>0$, così mi risparmio un fattore

[Yayoyoddu]

Scusate se mi son fatto aspettare ma ero a corto di tempo per rispondere.

Tornando all'esercizio:
l'idea di Aethelmyth posso dire che è una possibile soluzione anche se come lui stesso ha notato non la vedo molto pratica,
mentre per roxy e @melia quello che hanno fatto è molto simile a ciò che ho fatto io, unica differenza: l'ho fatto in maniera grezza.

Per intenderci:
$2(sinx-cosx)-1+sinx/cosx>0$
Raccolgo $1/cosx$ sicuramente diverso da 90° o 270° per l'esistenza della tangenza
$1/cosx(2sinxcosx-2cos^2x-cosx+sinx)>0$
Raccolgo $sinx$ e $-cosx$
$1/cosx(sinx(2cosx+1)-cosx(2cosx+1))>0$
Raccolgo $(2cosx+1)$, questo è l'ultimo
$1/cosx((2cosx+1)(sinx-cosx)>0$

Solo che da qui ho studiato l'andamento dei segni dei tre fattori in modo da trovare i casi che soddisfano la disequazione , stupidamente non ho pensato ad inserire $1/cosx$ dentro uno dei fattori.

OK, ora la soluzione è buona.

Bene, scappo che va a mangiare... GRAZIE A TUTTI e alla prossima