Disequazione trigonometrica
Per lo studio di un campo d'esistenza mi trovo costretto a dover risolvere questa disequazione:
$(cos^2x)/(1 - 2senx) - 1 > 0$
Che diventa ovviamente:
$(cos^2x - 1 + 2senx)/(1 - 2senx) > 0$
Ecco, ponendo numeratore e denominatore maggiori di 0, mi trovo al numeratore una disequazione che non so risolvere, perchè ho un coseno al quadrato, un seno e un termine noto.
Come si svolge una disequazione di questo tipo?
$(cos^2x)/(1 - 2senx) - 1 > 0$
Che diventa ovviamente:
$(cos^2x - 1 + 2senx)/(1 - 2senx) > 0$
Ecco, ponendo numeratore e denominatore maggiori di 0, mi trovo al numeratore una disequazione che non so risolvere, perchè ho un coseno al quadrato, un seno e un termine noto.
Come si svolge una disequazione di questo tipo?
Risposte
Avresti una immagine per farmi capire gentilmente?
Puoi trovare il disegno sul tuo libro di trigonometria oppure qui. Nella figura su internet la tangente è poco più di $1$; se dal punto 90° tracci la parallela ad OA, essa incontra la retta tangente nel punto $1$.
Una domanda relativa alla tangente..
Ho $tgx > -sqrt(3)$, voglio complicarmi la vita e voglio vedere la disequazione nella forma $(senx + sqrt(3)cosx)/(cosx) > 0$.
Quando vado a fare la regola dei segni e al numeratore mi trovo una disequazione del genere:
$senx + sqrt(3)cosx > 0$
Come posso procedere? Devo per forza '' trasformare '' il seno in coseno mediante una qualche formula tipo la parametrica?
Ho $tgx > -sqrt(3)$, voglio complicarmi la vita e voglio vedere la disequazione nella forma $(senx + sqrt(3)cosx)/(cosx) > 0$.
Quando vado a fare la regola dei segni e al numeratore mi trovo una disequazione del genere:
$senx + sqrt(3)cosx > 0$
Come posso procedere? Devo per forza '' trasformare '' il seno in coseno mediante una qualche formula tipo la parametrica?
Come ho già detto, usa le formule di addizione
Ma in che modo? Non so come applicarle qui perchè rispetto a coseno e seno sono:
$cos(alpha + beta) = cosalpha*cosbeta + senalpha*senbeta$
$cos(alpha - beta) = cosalpha*cosbeta - senalpha*senbeta$
$sen(alpha + beta) = senalpha*cosbeta + cosalpha*senbeta$
$sen(alpha - beta) = senalpha*cosbeta - cosalpha*senbeta$
$cos(alpha + beta) = cosalpha*cosbeta + senalpha*senbeta$
$cos(alpha - beta) = cosalpha*cosbeta - senalpha*senbeta$
$sen(alpha + beta) = senalpha*cosbeta + cosalpha*senbeta$
$sen(alpha - beta) = senalpha*cosbeta - cosalpha*senbeta$
Bah, ho come l'impressione che non leggi con attenzione quello che ti viene scritto.
qualche giorno fa ho scritto:
qualche giorno fa ho scritto:
"Gi8":
Oppure, più velocemente, le formule di addizione: $sin(x)+cos(x)>0<=> sqrt2/2 sin(x)+sqrt2/2 cos(x)>0 <=> cos(x-pi/4)>0$
Solo una precisazione, non è vero che:
Bensì
$ cos(alpha + beta) $ $=$ $ cosalpha*cosbeta$ [size=150]-[/size] $ senalpha*senbeta $
$ cos(alpha - beta) $ $=$ $ cosalpha*cosbeta$ [size=150]+[/size] $ senalpha*senbeta $
"Mr.Mazzarr":
...
$cos(alpha + beta) = cosalpha*cosbeta + senalpha*senbeta$
$cos(alpha - beta) = cosalpha*cosbeta - senalpha*senbeta$
...
Bensì
$ cos(alpha + beta) $ $=$ $ cosalpha*cosbeta$ [size=150]-[/size] $ senalpha*senbeta $
$ cos(alpha - beta) $ $=$ $ cosalpha*cosbeta$ [size=150]+[/size] $ senalpha*senbeta $
Esatto, xSilver.
Tra l'altro un rapido trucco per ricordare le formula di addizione/sottrazione di angoli per seno/coseno è questo: l'addizione/sottrazione del seno cambia le funzioni presenti nei due addendi ma mantiene il segno della somma/differenza di angoli, differentemente il coseno mantiene in ciascun addendo le funzioni (dando precedenza al coseno) ma cambia il segno della somma/differenza di angoli.
Tra l'altro un rapido trucco per ricordare le formula di addizione/sottrazione di angoli per seno/coseno è questo: l'addizione/sottrazione del seno cambia le funzioni presenti nei due addendi ma mantiene il segno della somma/differenza di angoli, differentemente il coseno mantiene in ciascun addendo le funzioni (dando precedenza al coseno) ma cambia il segno della somma/differenza di angoli.
"Gi8":[/quote]
Bah, ho come l'impressione che non leggi con attenzione quello che ti viene scritto.
qualche giorno fa ho scritto: [quote="Gi8"]Oppure, più velocemente, le formule di addizione: $sin(x)+cos(x)>0<=> sqrt2/2 sin(x)+sqrt2/2 cos(x)>0 <=> cos(x-pi/4)>0$
No Gi8, io ho letto pure ma sto cercando di capire come hai sfruttato la formula d'addizione. Tutto qua.
$sinx + sqrt(3)cosx > 0$ Moltiplico per $1/2$ ambo i membri
(perchè $1/2$? perchè a destra rimane $0$, mentre a sinistra otteniamo degli angoli notevoli)
$1/2 sin(x)+sqrt3/2 cos(x)>0<=> sin(x+pi/3)>0<=> ...$
(perchè $1/2$? perchè a destra rimane $0$, mentre a sinistra otteniamo degli angoli notevoli)
$1/2 sin(x)+sqrt3/2 cos(x)>0<=> sin(x+pi/3)>0<=> ...$
Potreste dirmi se ho fatto bene?
$tgx > 0$ $-> 0 + kpi < x < pi/2 + kpi$
$tgx > - sqrt(3)$ $-> -pi/3 + kpi < x < pi/2 + kpi$
$tgx > 0$ $-> 0 + kpi < x < pi/2 + kpi$
$tgx > - sqrt(3)$ $-> -pi/3 + kpi < x < pi/2 + kpi$
Mi pare di si.
Una domanda, se ho una disequazione fratta con seno o coseno al numeratore e tangente al denominatore, dopo aver messo sulla retta e preso le parti positive o negative, quale periodicità devo scrivere? Quella del coseno/seno o della tangente?
In parole povere, se sulla retta ci sono valori della tangente e del seno (quindi con periodicità diverse), quale periodicità devo considerare quando riscrivo alla fine gli intervalli in cui la x esiste?
In parole povere, se sulla retta ci sono valori della tangente e del seno (quindi con periodicità diverse), quale periodicità devo considerare quando riscrivo alla fine gli intervalli in cui la x esiste?
Mmmmm non saprei come risponderti qui, mi servirebbe un esempio concreto.
Ad esempio la soluzione del sistema:
${(0+2kpi < x < pi+2kpi),(pi/4+2kpi < x < pi/2+2kpi):}$
${(0+2kpi < x < pi+2kpi),(pi/4+2kpi < x < pi/2+2kpi):}$
In questo caso la soluzione coincide con la seconda disequazione. Le periodicità restano di $2kpi$, ti consiglio però di fare le linee per risolvere questi sistemi, non su rette come dicevi in precedenza, ma sulla circonferenza goniometrica, sarà molto più semplice determinare le periodicità.
No scusa burm, la seconda periodicità di quel sistema è $kpi$ e non $2kpi$ !!
Non cambia la sostanza, se fai il disegno nella circonferenza goniometrica, un periodicità di $kpi$ corrisponderà ad una linea continua in due parti della circonferenza (nel tuo caso la seconda disequazione avrà linea continua tra $pi/4$ e $pi/2$ e tra $5/4pi$ e $3/2pi$, ma la soluzione del sistema resta la stessa detta prima), una periodicità invece di $2kpi$ non è possibile disegnarla in quanto tu puoi rappresentare in circonferenza un solo giro.
Ragazzi avrei bisogno di un'ultima delucidazione sulle disequazioni con funzioni di arcoseno e arcocoseno.
Nel caso in cui siano in disequazioni numeriche, ovvero maggiore o minore (maggiore uguale o minore uguale) con numero e non radianti, allora rispettano queste proprietà:
$arcsenx < m -> -1 <= x < sen(m)$
$arccosx < m -> -1 <= x < cos(m)$
$arcsenx > m -> sen(m) < x <= 1$
$arccosx > m -> cos(m) < x <= 1$
Ma nel caso in cui sono in radianti? Se ho, ad esempio $arcsenx < pi/4$, posso risolvere direttamente così: $-pi/2 <= x < pi/4$ ? Oppure devo portare da radianti i numero e risolvere come sopra?
Nel caso in cui siano in disequazioni numeriche, ovvero maggiore o minore (maggiore uguale o minore uguale) con numero e non radianti, allora rispettano queste proprietà:
$arcsenx < m -> -1 <= x < sen(m)$
$arccosx < m -> -1 <= x < cos(m)$
$arcsenx > m -> sen(m) < x <= 1$
$arccosx > m -> cos(m) < x <= 1$
Ma nel caso in cui sono in radianti? Se ho, ad esempio $arcsenx < pi/4$, posso risolvere direttamente così: $-pi/2 <= x < pi/4$ ? Oppure devo portare da radianti i numero e risolvere come sopra?
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