Disequazione trigonometrica
Per lo studio di un campo d'esistenza mi trovo costretto a dover risolvere questa disequazione:
$(cos^2x)/(1 - 2senx) - 1 > 0$
Che diventa ovviamente:
$(cos^2x - 1 + 2senx)/(1 - 2senx) > 0$
Ecco, ponendo numeratore e denominatore maggiori di 0, mi trovo al numeratore una disequazione che non so risolvere, perchè ho un coseno al quadrato, un seno e un termine noto.
Come si svolge una disequazione di questo tipo?
$(cos^2x)/(1 - 2senx) - 1 > 0$
Che diventa ovviamente:
$(cos^2x - 1 + 2senx)/(1 - 2senx) > 0$
Ecco, ponendo numeratore e denominatore maggiori di 0, mi trovo al numeratore una disequazione che non so risolvere, perchè ho un coseno al quadrato, un seno e un termine noto.
Come si svolge una disequazione di questo tipo?
Risposte
Sapendo che $sen^2x + cos^2x=1 => cos^2x-1=-sen^2x$
La disequazione diventa quindi
$ (-sen^2x + 2senx)/(1 - 2senx) > 0 $
Possiamo inoltre porre $senx=y => (-y^2+2y)/(1-2y)$
che diventa una normale disequazione di secondo grado... una volta trovate le soluzioni ricordati di porre nuovamente $y= senx$.
Almeno così avrei approcciato io l'esercizio... fammi sapere
La disequazione diventa quindi
$ (-sen^2x + 2senx)/(1 - 2senx) > 0 $
Possiamo inoltre porre $senx=y => (-y^2+2y)/(1-2y)$
che diventa una normale disequazione di secondo grado... una volta trovate le soluzioni ricordati di porre nuovamente $y= senx$.
Almeno così avrei approcciato io l'esercizio... fammi sapere
Quindi $senx - cos^2x - sen^2x$ posso scriverlo anche come $senx - 1$ ?
mi pare sia corretto...
È corretto.
Un'altra domanda, devo risolvere questa disequazione:
$arctgx > pi/4$
Se quando mi trovo di fronte alla tangente, studio l'arcotangente relativa, qui faccio l'opposto?
$arctgx > pi/4$
Se quando mi trovo di fronte alla tangente, studio l'arcotangente relativa, qui faccio l'opposto?
Ragazzi, potreste aiutarmi a risolvere questa disequazione:
$senx > -cosx$
Che ragionamento devo fare? Saprei risolverla se il coseno non fosse negativo.
$senx > -cosx$
Che ragionamento devo fare? Saprei risolverla se il coseno non fosse negativo.
Una volta mi è capitato di fare il C.E. di una funzione, ed ho dovuto fare questa disequazione.
L'ho risolta vedendo come si comportava il $-cosx$ al variare di $senx$ nel cerchio goniometrico!! (una faticaccia)
L'ho risolta vedendo come si comportava il $-cosx$ al variare di $senx$ nel cerchio goniometrico!! (una faticaccia)
Potresti utilizzare le formule parametriche.
Oppure, più velocemente, le formule di addizione: $sin(x)+cos(x)>0<=> sqrt2/2 sin(x)+sqrt2/2 cos(x)>0 <=> cos(x-pi/4)>0$
L'idea delle formule d'addizione mi sembra più veloce. Altra situazione '' particolare '' :
$tgx > - sqrt(3)$
Io ho scritto che è uguale a tutto $RR$ in quanto $- sqrt(3)$ è un valore inferiore a $-1$, che è il minimo valore che la tangente può assumere. E' giusto?
$tgx > - sqrt(3)$
Io ho scritto che è uguale a tutto $RR$ in quanto $- sqrt(3)$ è un valore inferiore a $-1$, che è il minimo valore che la tangente può assumere. E' giusto?
No. Ti confondi con seno e coseno, che sono compresi tra $-1$ e $1$. La tangente assume tutti i possibili valori reali.
Ad esempio, $tan(pi/3)= sqrt3$
Ad esempio, $tan(pi/3)= sqrt3$
Quindi è meglio che la vedo come:
$tgx > - sqrt(3)$
$(senx)/(cosx) - sqrt(3) > 0$
$(senx - sqrt(3)cosx)/(cosx) > 0$
Ed applico la regola dei segni?
$tgx > - sqrt(3)$
$(senx)/(cosx) - sqrt(3) > 0$
$(senx - sqrt(3)cosx)/(cosx) > 0$
Ed applico la regola dei segni?
Assolutamente no. Quella disequazione si risolve in modo immediato: $-pi/3+kpi
Ma è semplicemente errato il mio modo di svolgimento oppure è solo più complesso?
Perchè non ho capito dov'è l'errore se $tgx = (senx)/cosx$.
Perchè non ho capito dov'è l'errore se $tgx = (senx)/cosx$.
Non è sbagliato, ma è molto più lungo. E in matematica non va bene 
Non è proprio sbagliato, ma è come prendere la macchina per attraversare la strada: un'inutile complicazione, perché, come ti ha fatto notare Gi8, si tratta di una disequazione immediata.
Pensa solo che, davanti alla disequazione $(sin x -sqrt3 cosx)/cos x >0$, io la trasformo in $tg x> -sqrt3$ per risolverla.
Pensa solo che, davanti alla disequazione $(sin x -sqrt3 cosx)/cos x >0$, io la trasformo in $tg x> -sqrt3$ per risolverla.
Ho una disequazione ed una equazione.
$senx < 1/2$
$senx != 1/2$
Nel primo caso, chiedendo i valori inferiori a $1/2$ che è un valore che il seno '' assume '' subito dopo allo $0$, ho pensato di prendere i valori negativi e considerare l'arco che va da $-pi/6$ a $pi/6$.
Nel secondo caso, ho semplicemente considerato i due valori '' notevoli '' che '' assume '' il seno a $1/2$, quindi ho posto la x
diversa da $pi/6$ e da $5/6 pi$.
Sapreste dirmi se ho fatto bene?
$senx < 1/2$ $ -> -pi/6 + 2kpi < x < pi/6 + 2kpi$
$senx != 1/2$ $ -> x != pi/6 + 2kpi$ $U$ $x != 5/6 pi + 2kpi$
$senx < 1/2$
$senx != 1/2$
Nel primo caso, chiedendo i valori inferiori a $1/2$ che è un valore che il seno '' assume '' subito dopo allo $0$, ho pensato di prendere i valori negativi e considerare l'arco che va da $-pi/6$ a $pi/6$.
Nel secondo caso, ho semplicemente considerato i due valori '' notevoli '' che '' assume '' il seno a $1/2$, quindi ho posto la x
diversa da $pi/6$ e da $5/6 pi$.
Sapreste dirmi se ho fatto bene?
$senx < 1/2$ $ -> -pi/6 + 2kpi < x < pi/6 + 2kpi$
$senx != 1/2$ $ -> x != pi/6 + 2kpi$ $U$ $x != 5/6 pi + 2kpi$
Nel primo caso stai prendendo i valori del seno compresi tra $-1/2$ e $1/2$, tralasciando quindi delle soluzioni valide. Ti consiglio di partire in negativo dall'angolo che ha seno $1/2$ (ossia $-7/6pi$) e percorrere tutto l'arco fino a $pi/6$.
Il secondo caso mi sembra corretto.
Il secondo caso mi sembra corretto.
Ah quindi nel primo caso devo '' estendere '' ancora di più l'arco.
Ti posso chiedere come studio direttamente la tangente? Perchè io quando lavoro con disequazioni su coseno e seno, uso il cerchio trigonometrico. La tangente non c'è, come posso andare a risolvere una disequazione con la tangente senza dover sostituirla con $(senx)/cosx$ ??
Ti posso chiedere come studio direttamente la tangente? Perchè io quando lavoro con disequazioni su coseno e seno, uso il cerchio trigonometrico. La tangente non c'è, come posso andare a risolvere una disequazione con la tangente senza dover sostituirla con $(senx)/cosx$ ??
Anche sul cerchio trigonometrico puoi vedere la tangente: ti basta disegnare la tangente al cerchio nel punto corrispondente all'angolo $0$ e guardare dove è incontrata dalla retta che delimita il tuo angolo (retta, non semiretta). Ricorda che il raggio è uguale a $1$, e quindi su questa retta segni $1$ alla stessa altezza dell'angolo $pi/2$.
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