Disequazione razionale fratta con modulo

Fai una domanda Tutte le categorie

13 mar 2013, 11:23

Salve a tutti. Ho un dubbio sulla seguente disequazione (ma è solo un esempio). Spero possiate darmi una mano

$| \frac{ 2x-5}{ x+1}| > 1 $

Dunque, questa disequazione è equivalente al seguente sistema di disequazioni

${ (\frac{ x-6}{ x+1} > 0), (\frac{ 3x-4}{ x+1} < 0):} $

e le soluzioni di questo sistema sono quei valori della $x$ che soddisfano contemporaneamente le due disequazioni.

Quindi il procedimento che attuo è trovare l'insieme $S_1$ e $S_2$ delle soluzioni delle due disequazioni, rispettivamente.
In fine la soluzione del problema originario è l'insieme $S=S_1 \cap S_2 $. Giusto?

Evidentemente c'è qualcosa che non va perché
$S_1 = {x<-1 \cup x>6}$
$S_2 = {-1 e l'insieme $S$, secondo il mio ragionamento, sarebbe
$S=S_1 \cap S_2 =\emptyset$

Ma evidentemente non è così perché, ad esempio, il valore $x=7$ risolve la disequazione di partenza.
Infatti la soluzione effettiva è $\tilde(S)={x<-1 \cup x>6}$

Tuttavia non mi pare ci siano errori; $x=7$ non risolve la seconda disequazione del sistema ( $\frac{ 3x-4}{ x+1} < 0 $ )
e quindi secondo il mio ragionamento non dovrebbe risolvere nemmeno la diseq originaria.

Dove fallisce questa logica?
grazie anticipatamente

Risposte

minomic

13 mar 2013, 10:31

Ciao, non devi fare il sistema ma l'unione. Ti riporto le "regole brevi" per i valori assoluti: $$
|f(x)| < numero \Rightarrow -numero < f(x) < numero
$$$$
|f(x)| > numero \Rightarrow f(x) < -numero \vee f(x) > numero
$$

burm87

13 mar 2013, 10:36

"minomic":
Ciao, non devi fare il sistema ma l'unione. Ti riporto le "regole brevi" per i valori assoluti: $$
|f(x)| < numero \Rightarrow -numero < f(x) < numero
$$$$
|f(x)| > numero \Rightarrow f(x) < -numero \vee f(x) > numero
$$

Aggiungo che queste regole valgono solamente se $ n umero>0$