Disequazione parametrica, come la discuto?
Ciao a tutti, sono due giorni che cerco di risolvere questa equazione parametrica, ma non riesco a venirne a capo.
Potreste darmi una mano a capire quando e se il discriminante è > = < 0?
L'equazione da cui parto è:
$x^2 + \frac{A}{v_a}x + A \sqrt{1-(\frac{B v_a}{A})^2} = 0 $
Che ha soluzioni $x_{1,2} = -\frac{\frac{A}{v_a} \pm \sqrt{\Delta}}{2}$ con $\Delta = \frac{A^2}{v_a^2} - 4 \sqrt{A^2 - (B v_a)^2}$
Sapendo che $A \geq 0$, $B \geq 0$, $ v_a \geq 0$ e che $A \geq B v_a$ (quindi $\Delta \in R$)
Ho pensato di discutere il discriminante per conoscere la realtà e segno delle soluzioni:
$\frac{A^2}{v_a^2} - 4 \sqrt{A^2 - (B v_a)^2 \geq 0$
che con qualche passaggio diventa
$B^2 + \frac{A^4 - 16 A^2 v_a^4}{16 v_a^6} \geq 0$
Quindi ho pensato di mettere B come incognita e studiare la disequazione trovando:
- le soluzioni dell'equazione associata: $B_{1,2} = \pm \frac{A}{4 v_a ^ 3} sqrt{16 v_a^4 - A^2}$
- L'intervallo in cui $\Delta_{B} >= 0$ cioè:
$\Delta_{B} = \frac{16 A^2 v_a^4 - A^4}{4 v_a^6}$ che è maggiore uguale a 0 solo se $v_a \geq \sqrt{A}/2$
quindi dovrebbe essere:
$v_a \geq \sqrt{A}/2 \Rightarrow \Delta_{B} \geq 0 $ per $ B \leq B_1, B \geq B_2$ vale $\Delta \geq 0$ (se $B_1 \leq B \leq B_2$ $\Delta_{B} \leq 0 => \Delta < 0$?)
$v_a \leq \sqrt{A}/2 \Rightarrow \Delta_{B} < 0 $ per qualunque valore di B la disequazione è verificata (sempre positiva) $\Rightarrow \Delta \geq 0$ (?)
Le conclusioni sono giuste? Oppure sto facendo confusione mettendo insieme i risultati? Come sono legati $\Delta$ e $\Delta_{B}$?
Spero che possiate aiutarmi
Potreste darmi una mano a capire quando e se il discriminante è > = < 0?
L'equazione da cui parto è:
$x^2 + \frac{A}{v_a}x + A \sqrt{1-(\frac{B v_a}{A})^2} = 0 $
Che ha soluzioni $x_{1,2} = -\frac{\frac{A}{v_a} \pm \sqrt{\Delta}}{2}$ con $\Delta = \frac{A^2}{v_a^2} - 4 \sqrt{A^2 - (B v_a)^2}$
Sapendo che $A \geq 0$, $B \geq 0$, $ v_a \geq 0$ e che $A \geq B v_a$ (quindi $\Delta \in R$)
Ho pensato di discutere il discriminante per conoscere la realtà e segno delle soluzioni:
$\frac{A^2}{v_a^2} - 4 \sqrt{A^2 - (B v_a)^2 \geq 0$
che con qualche passaggio diventa
$B^2 + \frac{A^4 - 16 A^2 v_a^4}{16 v_a^6} \geq 0$
Quindi ho pensato di mettere B come incognita e studiare la disequazione trovando:
- le soluzioni dell'equazione associata: $B_{1,2} = \pm \frac{A}{4 v_a ^ 3} sqrt{16 v_a^4 - A^2}$
- L'intervallo in cui $\Delta_{B} >= 0$ cioè:
$\Delta_{B} = \frac{16 A^2 v_a^4 - A^4}{4 v_a^6}$ che è maggiore uguale a 0 solo se $v_a \geq \sqrt{A}/2$
quindi dovrebbe essere:
$v_a \geq \sqrt{A}/2 \Rightarrow \Delta_{B} \geq 0 $ per $ B \leq B_1, B \geq B_2$ vale $\Delta \geq 0$ (se $B_1 \leq B \leq B_2$ $\Delta_{B} \leq 0 => \Delta < 0$?)
$v_a \leq \sqrt{A}/2 \Rightarrow \Delta_{B} < 0 $ per qualunque valore di B la disequazione è verificata (sempre positiva) $\Rightarrow \Delta \geq 0$ (?)
Le conclusioni sono giuste? Oppure sto facendo confusione mettendo insieme i risultati? Come sono legati $\Delta$ e $\Delta_{B}$?
Spero che possiate aiutarmi
Risposte
"_johnnyfreak_":
Ho pensato di discutere il discriminante per conoscere la realtà e segno delle soluzioni
Quello che ti interessa è solo la realtà delle soluzioni, in quanto il loro segno è presto determinabile dal fatto che l'equazione è posta nella forma
$x^2-Sx+P=0$, dove S e P sono rispettivamente somma e prodotto delle soluzioni, quindi le soluzioni, quando sono reali, sono entrambe negative.
Per il segno del discriminante ti trovi a dover risolvere la disequazione
$\frac{A^2}{v_a^2} - 4 sqrt{A^2 - (B v_a)^2} >= 0$
che diventa $B^2 + \frac{A^4 - 16 A^2 v_a^4}{16 v_a^6} \geq 0$
da qui se $A^2-16v_a^4>=0$ la disequazione è sempre verificata perché la somma di quantità non negative non può diventare negativa, quindi per $0
se, invece $v_a>\sqrt{A}/2$ devi porre la condizione su B, quindi visto che $B>=0$ per le condizioni iniziali, basta che $B>=sqrt((16 A^2 v_a^4-A^4 )/(16 v_a^6))$
Riassumendo, l'equazione ammette due soluzioni reali per
- $0
in entrambi i casi i valori della x che verificano l'equazione iniziale sono negativi, viste le condizioni al contorno ($A>=0$, $B>=0$, $v_a>=0$ e $A>=Bv_a$)
Veramente, visto che ci sono 2 condizioni diverse che legano i 3 parametri, si potrebbe fare una discussione anche sul legame tra
$B>sqrt((16 A^2 v_a^4-A^4 )/(16 v_a^6))$ e $A>=Bv_a$
PS non garantisco i calcoli, in alcuni passaggi mi sono fidata di quelli che avevi fatto tu.
Grazie, controllo quello che hai scritto e ti faccio sapere.
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