Disequazione parametrica
Discutere graficamente la seguente disequazione:
\(\displaystyle \sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\geq kx+2k \)
Io ho sempre discusso di equazione di questo tipo, ma non disequazioni. Al solito costruisco la curva \(\displaystyle y^2+\frac{x^2}{4}=1 \) che è una semi-ellisse superiore con fuochi sull'asse y. Analogamente costruisco il fascio proprio di rette con centro \(\displaystyle C(-2,0) \). Ma adesso non saprei come discutere, devo analizzare a parte il caso dell'uguale? Come mi comporto per il maggiore?
\(\displaystyle \sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\geq kx+2k \)
Io ho sempre discusso di equazione di questo tipo, ma non disequazioni. Al solito costruisco la curva \(\displaystyle y^2+\frac{x^2}{4}=1 \) che è una semi-ellisse superiore con fuochi sull'asse y. Analogamente costruisco il fascio proprio di rette con centro \(\displaystyle C(-2,0) \). Ma adesso non saprei come discutere, devo analizzare a parte il caso dell'uguale? Come mi comporto per il maggiore?
Risposte
Per prima cosa guardiamo questo grafico: (tasto destro -> "Apri immagine in un'altra scheda" se non la vedi tutta)
Il significato di quella disequazione è "Quando l'ellisse sta SOPRA alla retta?"
Io direi una cosa del genere: se $k<0$ la retta non interseca l'ellisse, che quindi risulta sempre "sopra" di essa. Se invece $k>0$ ci sono due intersezioni: una è fissa ed è il punto $C(-2, 0)$ mentre l'altra dipende da $k$ e, se non ho sbagliato i calcoli, la sua ascissa è \[x_P = \frac{2-8k^2}{4k^2+1}\] Dal grafico si nota chiaramente che l'ellisse si trova "sopra" alla retta per \[-2 < x < \frac{2-8k^2}{4k^2+1}\]
PS. Spero di non aver sbagliato nulla. In caso contrario... aspetto le correzioni!
Il significato di quella disequazione è "Quando l'ellisse sta SOPRA alla retta?"
Io direi una cosa del genere: se $k<0$ la retta non interseca l'ellisse, che quindi risulta sempre "sopra" di essa. Se invece $k>0$ ci sono due intersezioni: una è fissa ed è il punto $C(-2, 0)$ mentre l'altra dipende da $k$ e, se non ho sbagliato i calcoli, la sua ascissa è \[x_P = \frac{2-8k^2}{4k^2+1}\] Dal grafico si nota chiaramente che l'ellisse si trova "sopra" alla retta per \[-2 < x < \frac{2-8k^2}{4k^2+1}\]
PS. Spero di non aver sbagliato nulla. In caso contrario... aspetto le correzioni!
Grazie, è tutto perfetto!
Benissimo! 
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