Disequazione logaritmica irrazionale

[Salmo.Le.Bon29]

Ho provato a svolgere questo esercizio.. Non mi viene, qualcuno può aiutarmi? Dovrebbe venire -9 ≤ x ≤ 90

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Bada bene che si ha

[math]\small \sqrt{\ln(x + 10)} \le \sqrt{2} \, \Leftrightarrow \, \begin{cases} \ln(x + 10) \ge 0 \\ \ln(x + 10) \le 2 \end{cases} \, \Leftrightarrow \, \begin{cases} x + 10 > 0 \\ x + 10 \ge 1 \\ x + 10 \le e^2 \end{cases} \, \Leftrightarrow \, - 9 \le x \le e^2 - 10 \\[/math]

come hai ben indicato. Per una semplice verifica, vedi pure qui. ;)

[Salmo.Le.Bon29]

Ma dovrebbe venire 90 :(

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

# Salmo.Le.Bon29 :
Ma dovrebbe venire 90.

Basta un semplice controesempio per dimostrare la falsità di quel risultato. ;)

[Salmo.Le.Bon29]

Ehm, cioè? ahhaha scusa, ma dei Logaritmi ho capito solo la parola! :'(

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

In matematica per dimostrare che una cosa è falsa è un gioco da ragazzi in quanto basta un caso
in cui non si verifichi ciò che si sostiene per far crollare tutto ciò affermato e quindi renderlo falso. Tecnicamente è sufficiente mettere alla luce un controesempio. In questo caso il libro (o chiunque altro) sostiene che la soluzione di quella data disequazione sia

[math]-9 \le x \le 90[/math]

che in altri termini significa che tutti i numeri reali in quell'intervallo verificano (ossia rendono vera) tale disuguaglianza. Ebbene, allora dovrebbe valere anche per

[math]x=0[/math]

, ma peccato che non è affatto vero che

[math]\sqrt{\ln(0 + 10)}\le \sqrt{2}[/math]

in quanto, calcolatrice alla mano, si trova

[math]1.5\dots \le 1.4\dots[/math]

che è palesemente falso. D'altro canto con questo ragionamento non si può dimostrare altrettanto facilmente che la soluzione trovata da noi due sia quella esatta, bensì per fare questo occorre risolverla in "maniera logica" come scritto sopra, il che chiude definitivamente il cerchio.


P.S. noto che sei un novizio, ti do quindi il benvenuto. ;)

[Salmo.Le.Bon29]

Grazie mille, gentilissimo, ora mi è tutto più chiaro! :D