Disequazione logaritmica fratta

[silvia851-votailprof]

ho la seguente disequazione:
$log_(1/4)(x^2+5x+4)/(x^2-4)>0$
per iniziare mi sono andata a vedere il rispettivo campo di esistenza...
per $x^2+5x+4>0$ il C.E. è $x> -1$ e $x<-4$
per $x^2-4>0$ il C.E. è $x>2$ e $x<-2$

poi essendo che la base è inferiore a $1$ devo invertire il segno della disequazione diventandomi:
$(x^2+5x+4)/(x^2-4)<0$
da qui me la svolgo e ovviamente ottengo gli stessi risultati del C.E con l'unica differenza che qui le soluzioni sono interne, proprio perchè abbiamo invertito il segno....
....adesso però mi devo trovare la soluzione finale della disequazione, ma con tutti questi grafici...tra C.E. e soluzioni interne mi sono confusa cosa devo fare?

[@melia]

Hai fatto un bel po' di confusione.
1. Per prima cosa devi calcolare le condizioni di esistenza dell'intero argomento, non di ciascuna parte separatamente, per questo motivo devi risolvere la disequazione fratta $(x^2+5x+4)/(x^2-4)>0$
2. poi, per la disequazione, devi portare l'esercizio nella forma $log_a f(x)> log_a g(x)$, osservare se $a>1$ o $0log_(1/4) 1$ da cui $(x^2+5x+4)/(x^2-4)<1$

[silvia851-votailprof]

allora il campo di esistenza delle disequazioni è $x>2$ e $x<-4$.....dopo ho fatto come mi hai giustamente suggerito tu....essendo la base inferiore a 1, mi sono risolta questa disequazione$(x^2+5x+4)/(x^2-4)<1$ in questo modo:

$(x^2+5x+4)/(x^2-4)<1$ $rArr$ $(x^2+5x+4-x^2+4)/(x^2-4)<0$ $rArr$
$(5x+8)/(x^2-4)<0$
risolte entrambe le disequazioni ottengo $x<-8/5$ per il numeratore e $-2 ....ma poi non riesco a capire (in base al campo di esistenza) quali siano le soluzioni finali della disequazione!!!
potete aiutarmi per favore?

[silvia851-votailprof]

può essere che forse sbaglio il grafico?

[silvia851-votailprof]

perchè la soluzione mi viene fuori dal campo di esistenza?

[giammaria2]

Ci sono alcuni errori; uno è che spesso hai tratto conclusioni sbagliate dal grafico. Quando vuoi risolvere un sistema cerchi le zone in cui tutte le disequazioni sono verificate e l'hai fatto anche qui, dove invece non volevamo risolvere sistemi. Qui la domanda era il segno di una frazione; nel C.E. volevamo il segno + mentre nell'ultima disequazione volevamo il -.
Alla luce di questo torna a leggere i grafici: ti accorgerai che al C.E. manca l'intervallo $-2 L'errore di cui ti parlavo è che per risolvere la disequazione $N/D<0$ bisogna impostare le disequazioni $N>0$ e $D>0$ e poi prendere le zone in cui viene il meno (tu hai usato ovunque il $<$).
Veniamo ora al grafico finale: devi riportare tutti i caposaldi, sia del C.E. che della disequazione e poi ci sono due possibilità:
1) dobbiamo essere in C.E. e deve valere la disequazione: con una linea ciascuna segni le zone in cui valgono o no queste condizioni e questa volta è veramente un sistema, quindi prendi le zone in cui tutto è verificato;
2) con qualche tratto obliquo di penna cancelli le zone fuori dal C.E. e poi fai solo la linea della disequazione finale: la soluzione è data dai tratti in cui questa è verificata e che stanno in zone non cancellate.

[silvia851-votailprof]

"giammaria":
ti accorgerai che al C.E. manca l'intervallo $-2

scusami....andiamo a pochi passi alla volta....ma tu da dove ti ricavi questo campo di esistenza? se per $x^2+5x+4>0$ il C.E. è $x> -1$ e $x<-4$ e per $x^2-4>0$ il suo C.E è $x>2$ e $x<-2$

[giammaria2]

Cominciamo a distinguere fra C.E. e soluzione: il C.E. è l'insieme dei valori di x per cui la disequazione ha senso, vera o falsa che sia, e per i polinomi è sempre l'intero $RR$. Quello che indichi è invece la soluzione della disequazione, cioè l'insieme dei valori per cui è vera. Nel grafico la linea continua indica che la disequazione è vera, cioè che vale il +; quella tratteggiata indica che è falsa, cioè che vale il -. Devi scoprire il segno della frazione quindi ti interessa la regola dei segni e il ragionamento è:
- per $x< -4$ N e D hanno il +, e facendo la divisione viene +; lo scrivi nella parte bassa del grafico;
- per $-4 - per $-2 eccetera.
Adesso ti chiedi che segno volevi; la disequazione diceva $>0$ quindi volevi il + e la soluzione è data dalle zone in cui lo hai scritto.

[silvia851-votailprof]

la regola dei segni l'ho capita....e ho anche capito che devo tenere in considerazione le soluzioni con segno +.....ma questo non l'ho capito:

per x<−4 N e D hanno il +, e facendo la divisione viene +; lo scrivi nella parte bassa del grafico;
- per −4 - per −2
perchè mescoli le soluzioni del denominatore con quelle del numeratore?

[giammaria2]

Mi sembra ovvio: perché devo fare la divisione fra numeratore e denominatore e mi interessa il segno del risultato.

[silvia851-votailprof]

ma scusa le tue soluzioni sono interne o estrerne?...cioè per $x^2+5x+4<0$ ha come soluzioni $-1$ e $-4$ queste non sono interne? e cosi come per $x^2-4$ ha per soluzioni $2$ e $-2$ e anche queste sono interne...giusto?i miei segni sono diversi dai tuoi, come è possibile?

[giammaria2]

Sia per $N/D>0$ che per $N/D<0$ si risolvono le disequazioni $N>0$ e $D>0$ (tu hai usato il < e per questo abbiamo segni diversi) e poi si scelgono le zone col più nel primo caso e col meno nel secondo.

[silvia851-votailprof]

e risolvendo $N>0$ e $D>0$ quando riporto le soluzioni sul grafico sono esterne?

[giammaria2]

Sì: il primo coefficiente è positivo, quindi all'interno vale il < e all'esterno il >.

[silvia851-votailprof]

aspetta un attimo...mi sto confondendo.....sul grafico prima riporto:
$x^2+5x+4>0$$rArr$ $x_(1,2)=-1,-4$ cioè _________-4_ _ _ _ _ _ _ _ _ _-1________________
$x^2-4>0$$rArr$ $x_(1,2)=2,-2$ cioè _____________________-2_ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _2_______________
e studiando il segno ho: + - + - +
fin qui è esatto?

[giammaria2]

Esatto

[silvia851-votailprof]

ed io fin qui non ho avuto problemi....il problema nasce quando mi svolgo la disequazione....adesso ti faccio vedere:
$(x^2+5x+4-x^2+4)/(x^2-4)<0$$rArr$ $(5x+8)/(x^2-4)<0$
adesso mi trovo le mie soluzioni e sono:
$5x+8<0$$rArr$ $x<-8/5$ _________________-8/5_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
$x^2-4<0$ $rArr$ $-2 quindi qui i segno sono - + - +
questo passaggio è esatto?

[silvia851-votailprof]

...forse ci sono.......io prima sbagliavo perchè facevo tutto in un unico grafico e quindi mi confondevo....invece facendo due grafici diversi e poi facendo un terso grafico dove riporto le soluzioni con segno +...poi mi calcolo i segni e per la soluzione finale prendo quelli con segno -...........giusto? e quindi la soluzione finale è $]-oo,-4[ U ]-8/5,-1[$

[giammaria2]

Il tuo ultimo post mi è poco chiaro; per il penultimo ti invito a rileggere ho quanto scritto oggi alle 10,35: le disequazioni da risolvere sono $5x+8>0$ e $x^2-4>0$. Alla fine trovi comunque i segni - + - + (ma in altri esercizi poteva non esserci lo stesso risultato finale); siccome la richiesta era $<0$ ti scrivi come soluzione le zone col meno.
Al termine dello studio del CE dovevi anche scriverti la relativa soluzione e là prendevi le zone col +; ora fai il terzo grafico riportando la soluzione del CE e quella della disequazione finale e questa volta vuoi che siano entrambe verificate.
Il risultato finale è veramente quello che dici, quindi forse hai capito come lavorare e ti sei solo spiegata male.

[silvia851-votailprof]

molto probabilmente mi sono spiegata male dall'euforia di aver capito....sul mio quaderno ho fatto ben 3 grafici...sul primo ho messo le soluzioni di $x^2+5x+4>0$ e $x^2-4>0$....mi sono calcolata i segni e ho preso quelli con segno +.....nel 2 grafico mi sono riportata le soluzioni di $(x^2+5x+4)/(x^2-4)<1$ ho calcolato i segni e anche qui ho preso in considerazione quelli con segno +......nel 3 grafico mi sono riportata le soluzioni dei primi due grafici con il segno +.....e poi anche qui mi sono calcolata i segni, ma questa volta ho preso come soluzione quelli con segno -....spero di essermi fatta capire

[giammaria2]

Questa volta mi pare di aver capito ma ci sono errori di ragionamento e mi stupisce che il risultato finale venga.
Bene per il primo grafico ma nel secondo dovevi prendere in considerazione quelli col segno -; nel terzo dovevi sì riportare le due soluzioni ma poi non dovevi calcolare i segni bensì chiederti quando erano entrambe verificate: infatti vuoi essere in campo di esistenza E che la disequazione finale sia vera.