Disequazione logaritmica con valore assoluto

[Fitzgalippo]

devo risolvere $|log|x||<1$

quindi ho un modulo di un modulo.
L'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo, quindi, posso considerare solo $x>0$?
Risolverei quindi:

$|logx|<1$ avrò $-1
il log senza base specificata lo interpreto in base 10 quindi:
$1/10
è corretto?

Vi ringrazio per tutto l'aiuto che mi state dando, ne ho proprio bisogno.
E complimenti per questo forum.

[@melia]

"Fitzgalippo":devo risolvere $|log|x||<1$

quindi ho un modulo di un modulo.
L'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo, quindi, posso considerare solo $x>0$?

Assolutamente no!
Tuttavia la tua soluzione è "quasi" giusta, nel senso che basta continuare a tenere il modulo sulla x, quindi da

$|log|x||<1$ si ha $-1
$1/10<|x|<10$ da cui per $x>0$ si ricava $1/10 -1/10>x> -10 => -10

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[Frances_a]

$|log|x||<1$

la condizione di esistenza del logaritmo è soltanto $x$ diverso da $0$..
Se infatti x fosse un numero negativo, essendo il logaritmo del valore assoluto di x, l'argomento del logaritmo sareebbe comunque maggiore di zero..

[Dorian1]

No. Si può anche avere $x<0$ (il modulo dell'argomento è in ogni caso positivo...). L'unico valore da "scartare" è $x=0$.
Dunque:

$|log(|x|)|<=1$ sse $-1<= log|x|<=1$...

che equivale al sistema...

${log(|x|)<=1,-1<= log(|x|)$

che è verificato da tutti e soli gli $x$ di $S$

S=$[-10,-1/10]uu[1/10,10]$

[adaBTTLS1]

è corretta l'interpretazione del modulo del logaritmo, ma non di modulo di x. se x<0, il modulo lo fa diventare positivo, quindi il "dominio" è $x!=0$.
rimettiamo il "modulo" alla x ed otteniamo: $-1 < log|x| < 1$. log può essere in base 10 (se in base e si usa ln), ma può essere anche in base e (se in base 10 si usa Log). vediamo entrambi i casi:
$1/10 < |x| < 10$ che significa $x in (-10, -1/10)uu(1/10, 10)$;
analogamente $e^(-1) < |x| < e -> x in (-e, -e^(-1))uu(e^(-1), e)$.
OK? ciao.

[Fitzgalippo]

ok.
e nel caso avessi qualcosa di analogo a $|log|2x||=1$
sarebbe:
$-1=log|2x|=1$ cioè $1/10=|2x|=10$

per $2x>0$ ottengo $1/10=2x=10$ cioè $-1/20=x=-5$
per $2x<0$ ottengo $1/10=-2x=10$ cioè $1/20=x=5$

[adaBTTLS1]

... non scrivere così... -1 = 1 ? 1/10 = 10? !
$log|2x|=-1 vv log|2x|=1$
$2x = +- 1/10, +- 10 -> x in {-5, -1/20, +1/20, +5}$...
le soluzioni vanno bene anche se sono scambiate le positive con le negative... e non si può scrivere la "doppia equazione" come hai fatto... ciao.

[Fitzgalippo]

scusa per la doppia equazione, è stata la fretta.
grazie ancora per l'aiuto.

[adaBTTLS1]

prego.
l'importante è che tu sappia che non va scritto così... ciao.

[Fitzgalippo]

invece stavo provando quest'altro esercizio e non sono sicuro se sia corretto:

$log (|x-1|-x)>0$ la base del logaritmo è $1/3$

devo imporre che l'argomento $(|x-1|-x)>0$
ed ottengo come soluzione $1/2 a questo punto svolgo la disequazione:

$log (|x-1|-x)>0$
$log (-x+1-x)>0$
$log -2x> -1$

ora volevo sapere come si procede, se cambio verso cambio anche i segni?

[kekko989]

pensa a quando la funzione logaritmo è maggiore di zero..

[adaBTTLS1]

le uniche due cose esatte che hai scritto sono:
1) "devo imporre che l'argomento $(|x-1|-x)>0$ "
2) hai sostituito $-x+1$ al posto dell'espressione con modulo : $log_(1/3)\(-x+1-x)>0$
la soluzione di 1), cioè argomento del logaritmo > 0, a me viene $x<1/2$:
infatti da $x>=1$ si ottiene un assurdo ( $-1>0$ ); mentre da $x<1$ si ottiene $-2x > -1$
(se si cambia segno si inverte il simbolo di disuguaglianza -> $x<1/2$ )

non voglio nemmeno pensare come hai fatto nell'ultimo rigo a portare -1 al secondo membro da dentro l'argomento...

adesso sei arrivato a questo punto:
$log_(1/3)\(-2x+1)\>0$, con $x<1/2$.
ricorda che la base, questa volta, è minore di uno, che la funzione logaritmo vale zero sempre se l'argomento è uguale ad uno, ma questa volta la funzione logaritmo, essendo in base 1/3, non è strettamente crescente ma strettamente decrescente. allora come diventa, senza il simbolo di logaritmo, la disequazione precedente? ciao.

[Fitzgalippo]

Non mi è molto chiaro quello che mi stai chiedendo ma risolverei così:

$1/2<(-2x+1)<1$ per via della base compresa tra 0 e 1

$-1/2<-2x<0$

poi cambio segno e diventa $0

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[adaBTTLS1]

$1/2$ in questo contesto non c'entra nulla.
dovresti preliminarmente verificare che la soluzione della tua "giusta" disequazione posta sull'argomento sia $x<1/2$ (quindi 1/2 si confronta con x, non con l'intero argomento, ed inoltre, se scambi primo e secondo membro, va invertito anche il simbolo di disuguaglianza, cioè $1/2>x$ ).
poi, visto che log(a)=0 solo se a=1, quando hai log(a)>0 scrivi a>1 se la base è maggiore di 1, ma se la base è minore di 1 allora scrivi a<1. andiamo all'esercizio: hai base $1/3<1$ quindi $log_(1/3)\(a)>0$ si risolve ponendo $a<1$, dove a è l'argomento del logaritmo.
nel tuo caso $a=-2x+1$, per cui devi scrivere semplicemente $-2x+1<1-> -2x < 0 -> x>0$
${[x<1/2], [x>0] :}
dunque la soluzione è $0< x <1/2$
ciao.

[Fitzgalippo]

ok, perfetto. Grazie tante. Ora è chiaro