Disequazione logaritmica con valore assoluto
Ciao,
Sono ore che cerco di risolvere questa disequazione logaritmica, non riesco a capire come trattare il valore assoluto e come trasformare quel $-1/2$ in un logaritmo che mi permetta di eguagliare i due membri.
Praticamente, ho composto i due sistemi nel caso in cui x in valore assoluto sia maggiore o minore di 0, poi ho trasformato quel
$-1/2$ in logaritmo in base sei di \( \surd 6 \), purtroppo non è la via corretta.
Potreste darmi una dritta please??
Grazie!
Sono ore che cerco di risolvere questa disequazione logaritmica, non riesco a capire come trattare il valore assoluto e come trasformare quel $-1/2$ in un logaritmo che mi permetta di eguagliare i due membri.
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Praticamente, ho composto i due sistemi nel caso in cui x in valore assoluto sia maggiore o minore di 0, poi ho trasformato quel
$-1/2$ in logaritmo in base sei di \( \surd 6 \), purtroppo non è la via corretta.
Potreste darmi una dritta please??
Grazie!
Risposte
[xdom="@melia"]23 messaggi e ancora non hai imparato ad inserire un'equazione? E suppongo che non abbia ancora letto il regolamento del forum, del quale ti riporto qui sotto uno stralcio che sicuramente ti interessa.[/xdom]
3.6 I testi devono essere scritti, per quanto possibile, in italiano corretto, sia grammaticalmente sia ortograficamente. Il testo di eventuali problemi o esercizi va scritto esplicitamente, senza limitarsi a link o foto o immagini. Non sono consentite parole abbreviate. Tutto ciò non solo per il rispetto di chi legge ma anche perché i motori di ricerca non indicizzano correttamente le discussioni, che quindi non possono poi essere trovate da altri interessati al tema. Chi scrive è quindi invitato a rileggere il messaggio per evitare errori di battitura e di grammatica prima di premere il tasto Invia.
3.7 È fortemente consigliato scrivere le formule usando il linguaggio MathML o TeX, per facilitare la lettura dei partecipanti e di coloro che si accostano al forum per imparare. Dopo 30 messaggi inseriti, segno di apprezzabile presenza nella community, l'uso di tale linguaggio per la scrittura delle formule è obbligatorio.
3.6 I testi devono essere scritti, per quanto possibile, in italiano corretto, sia grammaticalmente sia ortograficamente. Il testo di eventuali problemi o esercizi va scritto esplicitamente, senza limitarsi a link o foto o immagini. Non sono consentite parole abbreviate. Tutto ciò non solo per il rispetto di chi legge ma anche perché i motori di ricerca non indicizzano correttamente le discussioni, che quindi non possono poi essere trovate da altri interessati al tema. Chi scrive è quindi invitato a rileggere il messaggio per evitare errori di battitura e di grammatica prima di premere il tasto Invia.
3.7 È fortemente consigliato scrivere le formule usando il linguaggio MathML o TeX, per facilitare la lettura dei partecipanti e di coloro che si accostano al forum per imparare. Dopo 30 messaggi inseriti, segno di apprezzabile presenza nella community, l'uso di tale linguaggio per la scrittura delle formule è obbligatorio.
"@melia":
23 messaggi e ancora non hai imparato ad inserire un'equazione?
Forse non benissimo, però credo sappia scrivere le equazioni.... e poi $ 23<30 $ Ciao
"Iennakpulos":
Praticamente, ho composto i due sistemi nel caso in cui x in valore assoluto sia maggiore o minore di 0, poi ho trasformato quel
$-1/2$ in logaritmo in base sei di \( \surd 6 \), purtroppo non è la via corretta.
Vorrei farti notare che questa frase presenta delle inesattezze. Non è pignoleria, è importante l'accuratezza nel modo in cui esponiamo i concetti matematici. Riformulerei il tutto nel seguente modo: "Ho analizzato il problema studiando separatamente il caso in cui l'argomento del valore assoluto è negativo e il caso in cui tale argomento è positivo o nullo".
"x in valore assoluto" non può mai essere negativo, e comunque nel tuo studio mancherebbe il caso $x=0$.
Detto questo, come prima cosa analizzerei il dominio; lo facciamo studiando separatamente le varie funzioni:
- la radice: \(\sqrt{x^2-2x}\) è una radice di indice pari perciò dobbiamo porre il radicando \(\ge 0\). Otteniamo \(x\le 0 \vee x\ge 2\);
- il logaritmo al primo membro: \(\log_6 \sqrt{x^2-2x}\); dobbiamo porre l'argomento $>0$ ma, essendo l'argomento una radice di indice pari che è sempre non negativa, è sufficiente scartare i valori per cui la radice è nulla. Considerando il risultato ottenuto nel punto precedente si ottiene quindi $x< 0 \vee x> 2$;
- il logaritmo al secondo membro: seguendo il ragionamento al punto precedente è facile convincersi che è sufficiente porre \(x\ne 0\).
Abbiamo quindi due regioni di esistenza: $x<0$ e $x>2$. Ci vanno giusto bene per poter studiare il valore assoluto come anticipato. Nell'intervallo $x<0$ si ha \(\lvert x\rvert =-x\), nell'intervallo $x>2$ si ha \(\lvert x\rvert =x\).
Abbiamo quindi due sistemi, le cui soluzioni finali andranno unite per determinare la soluzione della disequazione iniziale:
\(\begin{cases} x<0 \\ \log_6 \sqrt{x^2-2x} < \log_6(-x) -\frac{1}{2}\end{cases}\)
e
\(\begin{cases} x>2 \\ \log_6 \sqrt{x^2-2x} < \log_6(x) -\frac{1}{2}\end{cases}\)
Per risolvere le due disequazioni ti è necessario applicare le proprietà dei logaritmi: portando i logaritmi a primo membro hai una differenza di logaritmi con la stessa base, che puoi riscrivere come logaritmo del rapporto, ed esprimendo il termine noto più o meno come hai proposto tu (\(-\frac{1}{2}=\log_6\frac{1}{\sqrt{6}}\)) dovresti riuscire a risolvere la disequazione senza difficoltà.
quello che hai fatto è svolto in maniera precisa e dettagliata, ma c'è una via più "furba"
Dopo aver imposto le condizioni di esistenza il problema può essere scritto come
$\{(x< 0 \vee x> 2),(log_6 sqrt(x^2-2x)< log_6 |x| -1/2):}$ che diventa
$\{(x< 0 \vee x> 2),(log_6 sqrt(x^2-2x)< log_6 (|x| /sqrt6)):}$
$\{(x< 0 \vee x> 2),(sqrt(x^2-2x)< |x| /sqrt6):}$ dove, siccome entrambi i membri dell'uguaglianza sono sicuramente positivi per le condizioni di esistenza, è possibile elevare alla seconda
$\{(x< 0 \vee x> 2),(x^2-2x< x^2/6):}$ e a questo punto non c'è più il valore assoluto, non serve separare i casi.
Sostituito il simbolo di $=$ con quello di $<$, grazie a SaraMorgantePiano per la segnalazione.
Dopo aver imposto le condizioni di esistenza il problema può essere scritto come
$\{(x< 0 \vee x> 2),(log_6 sqrt(x^2-2x)< log_6 |x| -1/2):}$ che diventa
$\{(x< 0 \vee x> 2),(log_6 sqrt(x^2-2x)< log_6 (|x| /sqrt6)):}$
$\{(x< 0 \vee x> 2),(sqrt(x^2-2x)< |x| /sqrt6):}$ dove, siccome entrambi i membri dell'uguaglianza sono sicuramente positivi per le condizioni di esistenza, è possibile elevare alla seconda
$\{(x< 0 \vee x> 2),(x^2-2x< x^2/6):}$ e a questo punto non c'è più il valore assoluto, non serve separare i casi.
Sostituito il simbolo di $=$ con quello di $<$, grazie a SaraMorgantePiano per la segnalazione.
È vero. Perdendomi nell'impostazione della risoluzione ho perso di vista il problema nella sua interezza.
Grazie dell'osservazione!
P.s. nel sistema è da sostituire il simbolo di uguale con quello di minore.
Grazie dell'osservazione!
P.s. nel sistema è da sostituire il simbolo di uguale con quello di minore.
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