Disequazione logaritmica

[DavideV1]

$log_2(\frac{x}{x-1})<=2$

L'argomento del logaritmo esiste solo per $x<0$ o $x>1$. Dato che $2$ lo posso vedere come $log_2(4)$, mi trovo con due logaritmi aventi basi uguali... a questo punto per vedere quando un logaritmo è minore dell'altro dovrei semplicemente risolvere $\frac{x}{x-1}<=4$, cioè $x<=\frac{4}{3}$.

Intersecando i due insiemi di soluzioni, la disequazione dovrebbe essere verificata per $x<0$ o $1
Inoltre mi è venuto un dubbio: se porto $log_2(4)$ al primo membro ottengo la differenza di due logaritmi aventi base uguale. Per le proprietà dei logaritmi esso è uguale ad un logaritmo avente come argomento la divisione tra i due... mi troverei dunque ad avere $log_2(\frac{x}{4x-4})<=0$.

Per quest'ultima soluzione, soprattutto, dopo averci riflettuto ulteriormente mi sono accorto che porta agli stessi risultati. Infatti $log_2(\frac{x}{4x-4})=0$ quando l'argomento è uguale a 1, e $\frac{x}{4x-4}=0$, dopo averne verificato l'esistenza per $x<0$ o $x>1$, è uguale a uno quando $x=\frac{4}{3}$. Il logaritmo è dunque inferiore a zero per valori di x inferiori.

Mi trovo, con due soluzioni uguali, ottenute con due procedimenti diversi, entrambe sbagliate.

Lumi?

Grazie!!

[Sk_Anonymous]

Allora, il dominio della tua disequazione è $x<0$ oppure $x>1$.
Come hai giustamente osservato, la disequazione può essere trasformata in $x/(x-1)<=4$, che porta $x<1$ oppure $x>=4/3$. Rivedi i tuoi conti

[DavideV1]

uhm...

$\frac{x}{x-1}<=4$
$x<=4x-4$
$x-4x<=-4$
$-3x<=-4$
$-x<=-\frac{4}{3}$

se cambio segno a entrambi i membri non devo cambiare il segno della relazione...

[Sk_Anonymous]

Allora, abbiamo $x/(x-1)<=4$.
Non puoi assolutamente moltiplicare ambo i termini per $x-1$ (puoi farlo nelle equazioni, ma non nelle disequazioni fratte). Questa è una regola del tutto generale che devi assolutamente tenere a mente quando risolvi una disequazione fratta.
Il procedimento corretto è il seguente:

$(x-4(x-1))/(x-1)<=0$, da cui $(-3x+4)/(x-1)<=0$. Moltiplicando per -1 ambo i membri, ottieni $(3x-4)/(x-1)>=0$.
Adesso prova a risolvere questa disequazione usando il computo dei segni: dovresti ottenere il risultato che ti ho scritto nel precedente post.

[DavideV1]

Mi sta andando in pappa il cervello: continuo ad ottenere sempre lo stesso risultato.

Al numeratore $x>=\frac{4}{3}$, al denominatore $x>1$, ma il computo dei segni mi dice che il risultato della frazione è negativo per $1

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[Albertus16]

"matths87":Allora, abbiamo $x/(x-1)<=4$.
Non puoi assolutamente moltiplicare ambo i termini per $x-1$ (puoi farlo nelle equazioni, ma non nelle disequazioni fratte). Questa è una regola del tutto generale che devi assolutamente tenere a mente quando risolvi una disequazione fratta.
Il procedimento corretto è il seguente:

$(x-4(x-1))/(x-1)<=0$, da cui $(-3x+4)/(x-1)<=0$. Moltiplicando per -1 ambo i membri, ottieni $(3x-4)/(x-1)>=0$.
Adesso prova a risolvere questa disequazione usando il computo dei segni: dovresti ottenere il risultato che ti ho scritto nel precedente post.

Ciao DavideV. Come dice matths87, devi risolvere $(3x-4)/(x-1)>=0$. Da ciò, studi il numeratore e denominatore.

Fai il grafico delle soluzioni e prendi quelle positive, perchè il segno dell'ultima disequazione che stai risolvendo è positivo. Oppure procedi studiando la disequazione originaria, cioè $(-3x+4)/(x-1)<=0$, cambiando di segno solo quando studi il numeratore. Alla fine avrai le stesse soluzioni, cioè $x<1$ unito a $x>=4/3$.

[kekko989]

scusamo.. $3>2$ ma $-3<-2$ se cambi i segni ad entrambi i membri di una disequazioni,devi cambiare il verso. Questo è l'errore,per il resto segui i consigli che ti hanno dato.

[DavideV1]

ok, ora ci siamo... ora mi sorge un altro problema.

Se il logaritmo esiste per $x<0 $ e $x>1$ ma la disequazione è verificata per $x>=\frac{4}{3}$, qual è l'insieme definitivo delle soluzioni?

[Sk_Anonymous]

Attento: la disequazione $x/(x-1)<=4$ è verificata per $x<1$ oppure $x>=4/3$.
Adesso ti fornisco la risoluzione completa: la disequazione data equivale a $(3x-4)/(x-1)>=0$ (vedi i precedenti post). Adesso dobbiamo studiare la positività di numeratore e denominatore:

numeratore: $3x-4>=0$, cioè $x>=4/3$
denominatore: $x-1>=0$, cioè $x>1$

Facendo il computo dei segni ottieni "+" negli intervalli $x<1$ e $x>=4/3$, mentre ottieni - nell'intervallo $1=$), da cui il risultato. Ti torna?

[DavideV1]

Ho un serio problema di concentrazione questi giorni: adesso avevo confuso lo "$x>1$" come dominio della funzione con lo "$x<1$" come soluzione dell'equazione.

Adesso è chiaro, e i conti tornano: $x<0$ oppure $x>=\frac{4}{3}$ è la soluzione finale esatta.

[Sk_Anonymous]

Ok, adesso ci sei.

[DavideV1]

E finalmente!!!!

L'importante è che ci sia col ragionamento... ovvio che anche i numeri sono importanti e per questo devo "allenarmi a concentrarmi", ma visto che mi sono rimesso sui libri dopo più di dieci anni quello che mi premeva più era riuscire a ricordarmi il COME più che il QUANTO.



Grazie soprattutto per la pazienza!

[Sk_Anonymous]

Figurati

[giusymarco1]

[@melia]

"giusymarco"::axe:

Non capisco ho semplicemente separato il tuo post da uno ormai concluso.
Hai ricevuto anche degli aiuti.