Disequazione logaritmica

[johnnny1]

Come risolvo questa disequazione ? So che una somma tra logaritmi con base uguale è uguale al logaritmo che ha come argomento il prodotto degli argomenti. Il problema è che ho dei coefficienti prima dei singoli logaritmi.

[tex]2nlog_2(n)+log_2(2^n)-8log_2(n) > 0[/tex]

[mazzarri1]

anzitutto puoi semplificare
$log_2(2^n) = n log_2 (2) = n$
ora la metterei nella forma
$ log_2 (n) > (n)/(8-2n)$
e la risolverei per via grafica, studiando cioè le funzioni ai due membri e vedendo dove una supera l'altra

[johnnny1]

In realtà inizialmente c'era già la variabile [tex]n[/tex], io l'ho cambiata in quel modo per cercare di avere un solo argomento. Purtroppo non posso studiare per via grafica le funzioni, questi sono esercizi assegnati al compito, ed è vietato utilizzare dispositivi elettronici.

[mazzarri1]

Ma mica devi utilizzare dispositivi elettronici... si fa tutto a mano... studio di funzione al primo membro e al secondo fai un bel disegno e vedi dove il logaritmo prevale su quel rapporto. Mi sembra una buona strada provaci.

Se no comunque la vedo dura ricorda che
$log (ab) = log a + log b $
e che
$ log (a/b) = log a - log b $
ma comunque alla fine vai nei pasticci...

[Zero87]

Se c'è $n$ mi fa supporre che si tratti di $n$ intero e, nel nostro caso, $n>0$ per l'esistenza dell'argomento del logaritmo.

Comunque calma e gesso perché non puoi dividere per $8-2n$ a cuor leggero semplicemente perché devi vedere il segno di quell'elemento (cambia il verso della disequazione dividere per una quantità negativa).

Comunque hai
$2n log_2(n)+n-8log_2 (n)>0$
cioè
$(2n-8)log_2(n)+n>0$.

Però ci salviamo in corner perché è facile verificare che per $n>4$ la disuguaglianza è soddisfatta e, inoltre, per $n=4$ abbiamo $4>0$ soddisfatta ugualmente.

Magari non è molto matematico, ma se davvero - penso di sì! - $n$ è intero (ricordo $n>0$), i casi $n=1,2,3$ si possono verificare a mano.

[johnnny1]

Si Zero il dominio di [tex]n[/tex] è l'insieme dei numeri naturali, tu dici che quindi o si prova a mano o graficamente ? Non c'è una serie di passaggi algebrici che portano alla soluzione ?

[minomic]

Come ti dicevo nell'altro thread, la via algebrica non è praticabile. E ti va anche bene che sei in $NN$... fossi in $RR$ dovresti fare lo studio grafico.