Disequazione logaritmica
Salute a voi,
adesso sono qui a deliziarvi con una bella disequazione logaritmica, vorrei sapere come risolverla...
Di seguito vi posto il mio ragionamento ma mi blocco (perché è ovviamente sbagliato)
$x^2-4x+3+2ln(x)>0$
faccio l'equazione associata $x^2-4x+3+ln(x^2)=0 => ln(x^2)= 4x-x^2-3$
Scrivo tutto in base di esponenziale
$e^(ln(ln(x^2)))= e^(ln(4x))-e^(ln(x^2))-e^(ln(3))$
Che diventa:
$ln(ln(x^2)) = ln(4x) -ln(x^2) - ln(3)$ per la proprietà dei log $=> ln(ln(x^2))= ln((4x)/(3x^2)) => ln(ln(x^2))= ln((4)/(3x))$
ed ancora $ln(ln(x^2)) - ln((4)/(3x)) = 0$ per la stessa proprietà $=> ln((3x*ln(x^2))/4) = 0$
Ed $ln((3x*ln(x^2))/4)$ è uguale a 0 quando $((3x*ln(x^2))/4)=1$ perciò quando $3x*ln(x^2)=4$
Per un'altra proprietà dei log $ln(x^(6x))=4$
Qui mi blocco...
adesso sono qui a deliziarvi con una bella disequazione logaritmica, vorrei sapere come risolverla...
Di seguito vi posto il mio ragionamento ma mi blocco (perché è ovviamente sbagliato)
$x^2-4x+3+2ln(x)>0$
faccio l'equazione associata $x^2-4x+3+ln(x^2)=0 => ln(x^2)= 4x-x^2-3$
Scrivo tutto in base di esponenziale
$e^(ln(ln(x^2)))= e^(ln(4x))-e^(ln(x^2))-e^(ln(3))$
Che diventa:
$ln(ln(x^2)) = ln(4x) -ln(x^2) - ln(3)$ per la proprietà dei log $=> ln(ln(x^2))= ln((4x)/(3x^2)) => ln(ln(x^2))= ln((4)/(3x))$
ed ancora $ln(ln(x^2)) - ln((4)/(3x)) = 0$ per la stessa proprietà $=> ln((3x*ln(x^2))/4) = 0$
Ed $ln((3x*ln(x^2))/4)$ è uguale a 0 quando $((3x*ln(x^2))/4)=1$ perciò quando $3x*ln(x^2)=4$
Per un'altra proprietà dei log $ln(x^(6x))=4$
Qui mi blocco...
Risposte
Non è vero che, se
$ln(x^2)= 4x-x^2-3$,
allora
$e^(ln(ln(x^2)))= e^(ln(4x))-e^(ln(x^2))-e^(ln(3))$.
Caso mai è
$x^2=e^(4x-x^2-3)$.
Comunque, se invece studi l'andamento della funzione
$f(x)=x^2-4x+3+2ln(x)$,
ti rendi conto che è $>0$ per $x>1$,
poiché
$f(x)$ è definita per $x>0$,
$lim_(x->0^+)f(x)=-oo$,
$lim_(x->+oo)f(x)=+oo$,
$f'(x)=2/x(x-1)^2$
e quindi $f(x)$ è crescente, tranne che per $x=1$, $y=0$, dove c'è un flesso con tangente orizzontale.
Quindi
$x^2-4x+3+2ln(x)>0$
per $x>1$.
$ln(x^2)= 4x-x^2-3$,
allora
$e^(ln(ln(x^2)))= e^(ln(4x))-e^(ln(x^2))-e^(ln(3))$.
Caso mai è
$x^2=e^(4x-x^2-3)$.
Comunque, se invece studi l'andamento della funzione
$f(x)=x^2-4x+3+2ln(x)$,
ti rendi conto che è $>0$ per $x>1$,
poiché
$f(x)$ è definita per $x>0$,
$lim_(x->0^+)f(x)=-oo$,
$lim_(x->+oo)f(x)=+oo$,
$f'(x)=2/x(x-1)^2$
e quindi $f(x)$ è crescente, tranne che per $x=1$, $y=0$, dove c'è un flesso con tangente orizzontale.
Quindi
$x^2-4x+3+2ln(x)>0$
per $x>1$.
Non ho ben capito come hai studiato il segno della funzione...
Si può risolvere anche senza studi di funzione. La disequazione può essere scritta come
$2lnx> -x^2+4x-3$
e disegni facilmente le curve $y=2lnx$ e $y=-x^2+4x-3$ (è una parabola). Dal grafico vedi che si incontrano in $(1,0)$ e che la prima curva sta sopra alla seconda per $x>1$, che è quindi la soluzione.
$2lnx> -x^2+4x-3$
e disegni facilmente le curve $y=2lnx$ e $y=-x^2+4x-3$ (è una parabola). Dal grafico vedi che si incontrano in $(1,0)$ e che la prima curva sta sopra alla seconda per $x>1$, che è quindi la soluzione.
Un grazie ad entrambi!!! ^ ^
"chiaraotta":
Non è vero che, se
$ln(x^2)= 4x-x^2-3$,
allora
$e^(ln(ln(x^2)))= e^(ln(4x))-e^(ln(x^2))-e^(ln(3))$.
Caso mai è
$x^2=e^(4x-x^2-3)$.
bella risoluzione....complimenti!
scusami chiara , volevo chiederti se puoi darmi indicazioni su come diagrammi la funzione con geogebra? sto imparando ad usarlo ma non so ancora inserire le funzioni. Grazie, buona giornata!
Basta digitare nella barra di inserimento la funzione. Per es.
f(x)=x^2-4x+3+2log(x)
f(x)=x^2-4x+3+2log(x)
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