Disequazione letterale di secondo grado.
Ciao a tutti, colgo l' occasione di presentarmi. Sono nuovo del forum e poichè sto studiando per intraprendere i test universitari ho pensato di iscrivermi dato che a mio avviso il sito è molto ben fatto.
Spero di non avere molti dubbi durante i miei studi e nel caso risolverli da solo. Tuttavia la sezione sui giochi della matematica e problemi di "scervellamento" mi hanno invogliato ancora di piu ad iscrivermi per discuterne con tutti.
Boris
Detto questo vi propongo una disequazione poichè parte della mia soluzione non concorda con quella del libro e non riesco a capire dov' è il mio errore.
la disequazione è:
(a-1)x^2-2ax+a+1>0
Ho proceduto nel seguente modo:
---> a=1 -2ax+2>0 ---> x<1
---> a=0 -x^2+1>0 ---> -1
(a+1)/(a-1) e (a-1)/(a-1)= 1
ora devo discutere il termine a-1 che rappresenta il coefficente di x^2. Se il coefficente è negativo la parabola sarà rivolta verso il basso e la disequazione avrà per soluzione i valori interni mentre al contrario valori esterni.
(a-1)>0 a>1 ora devo discutere chi è maggiore tra (a+1)/(a-1) e 1 per posizionarli sulla retta orientata.
.....
Ho capito dov' era l' errore
Posto la discussione come presentazione. Inizio subito con una bella figura cosi capite come son fatto
Alla prossima
Spero di non avere molti dubbi durante i miei studi e nel caso risolverli da solo. Tuttavia la sezione sui giochi della matematica e problemi di "scervellamento" mi hanno invogliato ancora di piu ad iscrivermi per discuterne con tutti.
Boris
Detto questo vi propongo una disequazione poichè parte della mia soluzione non concorda con quella del libro e non riesco a capire dov' è il mio errore.
la disequazione è:
(a-1)x^2-2ax+a+1>0
Ho proceduto nel seguente modo:
---> a=1 -2ax+2>0 ---> x<1
---> a=0 -x^2+1>0 ---> -1
(a+1)/(a-1) e (a-1)/(a-1)= 1
ora devo discutere il termine a-1 che rappresenta il coefficente di x^2. Se il coefficente è negativo la parabola sarà rivolta verso il basso e la disequazione avrà per soluzione i valori interni mentre al contrario valori esterni.
(a-1)>0 a>1 ora devo discutere chi è maggiore tra (a+1)/(a-1) e 1 per posizionarli sulla retta orientata.
.....
Ho capito dov' era l' errore
Posto la discussione come presentazione. Inizio subito con una bella figura cosi capite come son fatto
Alla prossima
Risposte
Ciao, benvenuto sul forum, dai una letta a questa pagina dove viene spiegato come scrivere in modo leggibile tutte formule: come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
Grazie mille
Nella soluzione dell'esercizio c'è un po' di confusione. Vorrei mettere ordine
$(a-1)x^2-2ax+a+1>0$
L'equazione associata è di II grado per $a!=1$ e di primo per $a=1$, per prima cosa si distinguano i due casi
Se $a=1$ la disequazione diventa $-2x+2>0 -> x<1$
Se $a!=1$ allora si risolve l'equazione associata, che ha soluzioni $x_1 =1$ e $x_2 = (a+1)/(a-1)$
a questo punto dobbiamo trovare la positività del trinomio, sappiamo che un trinomio di secondo grado ha lo stesso segno del primo coefficiente per valori esterni alle soluzioni e segno opposto per valori interni, inoltre dobbiamo stabilire quale tra le due soluzioni è quella maggiore, risolvendo la disequazione $(a+1)/(a-1)>1$ si ottiene $a>1$.
Il primo coefficiente $a-1$ è positivo per $a>1$ e in tal caso anche $(a+1)/(a-1)>1$, quindi la soluzione è $x<1 vv x>(a+1)/(a-1)$
Il primo coefficiente $a-1$ è negativo per $a<1$ e in tal caso $(a+1)/(a-1)<1$, quindi la soluzione è $(a+1)/(a-1)
Riassumendo
Per $a<1$ la soluzione è $(a+1)/(a-1)
per $a>1$ la soluzione è $x<1 vv x>(a+1)/(a-1)$
$(a-1)x^2-2ax+a+1>0$
L'equazione associata è di II grado per $a!=1$ e di primo per $a=1$, per prima cosa si distinguano i due casi
Se $a=1$ la disequazione diventa $-2x+2>0 -> x<1$
Se $a!=1$ allora si risolve l'equazione associata, che ha soluzioni $x_1 =1$ e $x_2 = (a+1)/(a-1)$
a questo punto dobbiamo trovare la positività del trinomio, sappiamo che un trinomio di secondo grado ha lo stesso segno del primo coefficiente per valori esterni alle soluzioni e segno opposto per valori interni, inoltre dobbiamo stabilire quale tra le due soluzioni è quella maggiore, risolvendo la disequazione $(a+1)/(a-1)>1$ si ottiene $a>1$.
Il primo coefficiente $a-1$ è positivo per $a>1$ e in tal caso anche $(a+1)/(a-1)>1$, quindi la soluzione è $x<1 vv x>(a+1)/(a-1)$
Il primo coefficiente $a-1$ è negativo per $a<1$ e in tal caso $(a+1)/(a-1)<1$, quindi la soluzione è $(a+1)/(a-1)
Riassumendo
Per $a<1$ la soluzione è $(a+1)/(a-1)
per $a>1$ la soluzione è $x<1 vv x>(a+1)/(a-1)$
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