Disequazione irrazionale: non si trova un segno
$√(x+3)+√(2-x)≥√(4x+1)$
Mi dovrebbe uscire $-1/4≤x≤(7+√89)/10$ invece esce $-1/4≤x≤(7-√89)/10$ il che mi fa inca**are un sacco poiché sono stato tipo un quarto d'ora a fare calcoli... Aiutatemi vi prego!
Mi dovrebbe uscire $-1/4≤x≤(7+√89)/10$ invece esce $-1/4≤x≤(7-√89)/10$ il che mi fa inca**are un sacco poiché sono stato tipo un quarto d'ora a fare calcoli... Aiutatemi vi prego!
Risposte
Prova a metterli qua i tuoi calcoli, così vediamo dove sbagli...
Ecco i calcoli (non li ho scritti a mano perché sono veramente troppi):
http://tinypic.com/r/1fu1vr/8
http://tinypic.com/r/16ljm6b/8
http://tinypic.com/r/1fu1vr/8
http://tinypic.com/r/16ljm6b/8
Mi perdo nella tua montagna di calcoli ma vedo un solo diagramma e quindi penso che tu abbia sempre considerato l'intersezione mentre in un caso occorreva l'unione. Ti posto la mia soluzione.
Come prima cosa ho cercato il C.E. risolvendo il sistema delle tue prime tre disequazioni: ottengo $-1/4<=x<=2$.
Notando che è tutto positivo ho elevato al quadrato, arrivando a
$sqrt((x+3)(2-x))>=2x-2$
Debbo ora distinguere due casi, a seconda del segno del secondo membro.
Caso 1) Il secondo membro è negativo e devo essere in C.E. (e quindi il radicando è non-negativo):
${(2x-2<0),(-1/4<=x<=2):}->-1/4<=x<=1$
Caso 2 Il secondo membro è positivo o nullo, devo essere in C.E. e vale la disequazione elevata al quadrato:
${(2x-2>=0),(-1/4<=x<=2),((x+3)(2-x)>=(2x-2)^2):}->" "..." "->1<=x<=(7+sqrt89)/10$
Facendo ora l'unione dei due casi trovo la soluzione del libro.
Come prima cosa ho cercato il C.E. risolvendo il sistema delle tue prime tre disequazioni: ottengo $-1/4<=x<=2$.
Notando che è tutto positivo ho elevato al quadrato, arrivando a
$sqrt((x+3)(2-x))>=2x-2$
Debbo ora distinguere due casi, a seconda del segno del secondo membro.
Caso 1) Il secondo membro è negativo e devo essere in C.E. (e quindi il radicando è non-negativo):
${(2x-2<0),(-1/4<=x<=2):}->-1/4<=x<=1$
Caso 2 Il secondo membro è positivo o nullo, devo essere in C.E. e vale la disequazione elevata al quadrato:
${(2x-2>=0),(-1/4<=x<=2),((x+3)(2-x)>=(2x-2)^2):}->" "..." "->1<=x<=(7+sqrt89)/10$
Facendo ora l'unione dei due casi trovo la soluzione del libro.
"giammaria":No, aspetta, non ho capito dopo la Condizione di Esistenza che hai fatto... Mi scrivi tutti i passaggi per favore?
Mi perdo nella tua montagna di calcoli ma vedo un solo diagramma e quindi penso che tu abbia sempre considerato l'intersezione mentre in un caso occorreva l'unione. Ti posto la mia soluzione.
Come prima cosa ho cercato il C.E. risolvendo il sistema delle tue prime tre disequazioni: ottengo $-1/4<=x<=2$.
Notando che è tutto positivo ho elevato al quadrato, arrivando a
$sqrt((x+3)(2-x))>=2x-2$
Debbo ora distinguere due casi, a seconda del segno del secondo membro.
Caso 1) Il secondo membro è negativo e devo essere in C.E. (e quindi il radicando è non-negativo):
${(2x-2<0),(-1/4<=x<=2):}->-1/4<=x<=1$
Caso 2 Il secondo membro è positivo o nullo, devo essere in C.E. e vale la disequazione elevata al quadrato:
${(2x-2>=0),(-1/4<=x<=2),((x+3)(2-x)>=(2x-2)^2):}->" "..." "->1<=x<=(7+sqrt89)/10$
Facendo ora l'unione dei due casi trovo la soluzione del libro.
Campo esistenza:
${(x+3>=0),(2-x>=0),(4x+1>=0):}->{(x>=-3),(x<=2),(x>=-1/4):}->-1/4<=x<=2$
Poi, con gli stessi tuoi calcoli, arrivo a
$sqrt((x+3)(2-x))>=2x-2$
Come si dice di solito, la radice sta dalla parte del maggiore e la regola dice che quando questo succede bisogna distinguere due casi, di cui alla fine va fatta l'unione:
- se l'altro membro è negativo, la radice (che è positiva o nulla) gli è certo maggiore, purché esista: basta imporre che l'altro membro sia negativo e che la radice esista.
- se l'altro membro è positivo o nullo, essendo tutto positivo o nullo si può elevare a quadrato: imponiamo quindi che l'altro membro sia positivo o nullo e che valga la disequazione al quadrato. In questo secondo caso normalmente non si impone la condizione di esistenza perché diventa inutile; io però ho preferito imporla perché all'inizio c'erano radici diverse da quella attuale e questo può modificare qualcosa.
Il resto è solo questione di calcoli, e quelli li hai fatti giusti. In totale ho fatto, almeno mentalmente, quattro diagrammi: per la condizione di esistenza, per il primo caso, per il secondo caso, per l'unione dei due casi. Nei primi tre ho cercato l'intersezione, nell'ultimo l'unione.
${(x+3>=0),(2-x>=0),(4x+1>=0):}->{(x>=-3),(x<=2),(x>=-1/4):}->-1/4<=x<=2$
Poi, con gli stessi tuoi calcoli, arrivo a
$sqrt((x+3)(2-x))>=2x-2$
Come si dice di solito, la radice sta dalla parte del maggiore e la regola dice che quando questo succede bisogna distinguere due casi, di cui alla fine va fatta l'unione:
- se l'altro membro è negativo, la radice (che è positiva o nulla) gli è certo maggiore, purché esista: basta imporre che l'altro membro sia negativo e che la radice esista.
- se l'altro membro è positivo o nullo, essendo tutto positivo o nullo si può elevare a quadrato: imponiamo quindi che l'altro membro sia positivo o nullo e che valga la disequazione al quadrato. In questo secondo caso normalmente non si impone la condizione di esistenza perché diventa inutile; io però ho preferito imporla perché all'inizio c'erano radici diverse da quella attuale e questo può modificare qualcosa.
Il resto è solo questione di calcoli, e quelli li hai fatti giusti. In totale ho fatto, almeno mentalmente, quattro diagrammi: per la condizione di esistenza, per il primo caso, per il secondo caso, per l'unione dei due casi. Nei primi tre ho cercato l'intersezione, nell'ultimo l'unione.
@giammaria
Quando divido i due casi, devo mettere le C.E. anche nel $<=$?
Ho $sqrt(f(x))>g(x)$:
1)
${(g(x)<0),(f(x)>=0):}$
il 2) è per forza
${(g(x)>=0),(f(x)>[g(x)]^2),(f(x)>=0):}$
o va bene anche
${(g(x)>=0),(f(x)>[g(x)]^2):}$?
io ho (sempre) fatto cosí perchè credevo che le C.E bastassero in uno dei due sistemi... Sbaglio vero?
Quando divido i due casi, devo mettere le C.E. anche nel $<=$?
Ho $sqrt(f(x))>g(x)$:
1)
${(g(x)<0),(f(x)>=0):}$
il 2) è per forza
${(g(x)>=0),(f(x)>[g(x)]^2),(f(x)>=0):}$
o va bene anche
${(g(x)>=0),(f(x)>[g(x)]^2):}$?
io ho (sempre) fatto cosí perchè credevo che le C.E bastassero in uno dei due sistemi... Sbaglio vero?
@ kobeilprofeta. Va bene anche il tuo ultimo sistema; la tua domanda è però arrivata pochi secondi dopo il mio ultimo post e non l'avevi certo ancora letto. Fallo ora: nel penultimo paragrafo spiego perché ho messo anche la C.E.
Scusa ma io mi trovo $sqrt((x+3)(2-x))<=2-2x$, non $sqrt((x+3)(2-x))>=2x-2$!
Ok, ho sbagliato un segno! Scusa, è colpa mia! Sorry!
@giammaria
Ok ho letto. Sì potrebbe anche non mettere... Diciamo ch mi conviene quando il tutto deriva da un elevamento al quadrato?
Ok ho letto. Sì potrebbe anche non mettere... Diciamo ch mi conviene quando il tutto deriva da un elevamento al quadrato?
@ kobeilprofeta. Sì, possiamo dire così; in generale, lo mettiamo quando temiamo complicazioni di origine diversa dal semplice risolvere la disequazione. Volendo potremmo anche metterlo sempre: è inutile ma non dannoso.
Grazie mille Giammaria
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