Disequazione irrazionale di indice 3
Salve! Vorrei sapere se è possibile risolvere la disequazione che segue in modo diverso rispetto a quello utilizzato da me, in quanto mi pare un po' troppo complesso. Potreste anche spiegarmi perché nel terzo passaggio non si possono dividere entrambi i membri per $(x-1)$? Il mio primo tentativo di risoluzione è stato, appunto, questo, ma il risultato non era corretto. Grazie in anticipo 
$root(3)(x(x^2-1))>x-1;$
$x(x^2-1)>(x-1)^3;$
$x(x-1)(x+1)>(x-1)^3;$
$x(x-1)(x+1)-(x-1)^3>0;$
$(x-1)[x(x+1)-(x-1)^2]>0;$
La soluzione del primo fattore è $x>1$; quella del secondo, con semplici calcoli, è $x>1/3$.
Dal castelletto dei segni si ottiene che il risultato è $x<1/3 vv x>1$
$root(3)(x(x^2-1))>x-1;$
$x(x^2-1)>(x-1)^3;$
$x(x-1)(x+1)>(x-1)^3;$
$x(x-1)(x+1)-(x-1)^3>0;$
$(x-1)[x(x+1)-(x-1)^2]>0;$
La soluzione del primo fattore è $x>1$; quella del secondo, con semplici calcoli, è $x>1/3$.
Dal castelletto dei segni si ottiene che il risultato è $x<1/3 vv x>1$
Risposte
Non si capisce perché devi complicarti la vita quando sviluppando ottieni una normale equazione di secondo grado ...
Il campo di esistenza dell'equazione originaria è tutto $RR$ mentre se dividi per $x-1$ dovresti togliere $x=1$ perché non si può dividere per zero ... e questo è il primo motivo ... e in secondo luogo perché essendo una disequazione quando dividi per un numero devi conoscere il segno perché se negativo il verso della disequazione va invertito ... altra complicazione inutile ... ti basta?
Il campo di esistenza dell'equazione originaria è tutto $RR$ mentre se dividi per $x-1$ dovresti togliere $x=1$ perché non si può dividere per zero ... e questo è il primo motivo ... e in secondo luogo perché essendo una disequazione quando dividi per un numero devi conoscere il segno perché se negativo il verso della disequazione va invertito ... altra complicazione inutile ... ti basta?
$root(3)(x(x^2 - 1)) > x - 1$
L'indice della radice è 3 (dispari), quindi elevo ambo i membri a potenza con esponente 3:
$x(x^2 - 1) > (x - 1)^3$
Risolvendo il prodotto notevole e moltiplicando $x$ per $(x^2 - 1)$ riconduco l'equazione a una di secondo grado:
$x^3 - x > x^3 - 3x^2 + 3x - 1$
$3x^2 - 4x + 1 > 0$
$Delta = 4$
$x1 = (4 - 2)/6 = 1/3$
$x2 = (4 + 2)/6 = 1$
La disequazione è verificata per $x < 1/3 vv x > 1$.
Come hai fatto tu ti sei complicato solo la vita, come ha evidenziato anche l'utente sopra di me.
L'indice della radice è 3 (dispari), quindi elevo ambo i membri a potenza con esponente 3:
$x(x^2 - 1) > (x - 1)^3$
Risolvendo il prodotto notevole e moltiplicando $x$ per $(x^2 - 1)$ riconduco l'equazione a una di secondo grado:
$x^3 - x > x^3 - 3x^2 + 3x - 1$
$3x^2 - 4x + 1 > 0$
$Delta = 4$
$x1 = (4 - 2)/6 = 1/3$
$x2 = (4 + 2)/6 = 1$
La disequazione è verificata per $x < 1/3 vv x > 1$.
Come hai fatto tu ti sei complicato solo la vita, come ha evidenziato anche l'utente sopra di me.
Chiaro! Mi chiedo come ho fatto a non pensarci prima! Grazie molte
Ciao, fabiusc. Per cortesia, la prossima volta non scrivere il titolo maiuscolo. In internet il maiuscolo equivale a gridare, come hai visto qui non serve gridare, ti ascoltiamo lo stesso. Questa volta ho corretto io, la prossima spero che tu scriva in minuscolo.
Buona permanenza nel forum.
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