Disequazione irrazionale: condizioni di esistenza
Salve. Sto studiando le disequazioni irrazionali e non mi è chiaro un esercizio:
$root(2)(x^2 - 1)>0$
La soluzione di tale disequazione è data dall'unione degli intervalli (-∞, -1) U (1, +∞).
Perché le soluzioni -1 e 1 non sono incluse? Faccio questa domanda siccome fino ad ora, per risolvere le disequazioni irrazionali con indice pari, è stato necessario risolvere un sistema di due disequazioni: la prima è la condizione di esistenza di un radicale con indice pari (dunque il radicale maggiore o uguale a zero), la seconda è la medesima disequazione di sopra con entrambi i membri elevati al quadrato). Se qui risolvessi il sistema, la soluzione non sarebbe (-∞, -1) U (1, +∞), ma (-∞, -1] U [1, +∞). Cosa sto sbagliando?
$root(2)(x^2 - 1)>0$
La soluzione di tale disequazione è data dall'unione degli intervalli (-∞, -1) U (1, +∞).
Perché le soluzioni -1 e 1 non sono incluse? Faccio questa domanda siccome fino ad ora, per risolvere le disequazioni irrazionali con indice pari, è stato necessario risolvere un sistema di due disequazioni: la prima è la condizione di esistenza di un radicale con indice pari (dunque il radicale maggiore o uguale a zero), la seconda è la medesima disequazione di sopra con entrambi i membri elevati al quadrato). Se qui risolvessi il sistema, la soluzione non sarebbe (-∞, -1) U (1, +∞), ma (-∞, -1] U [1, +∞). Cosa sto sbagliando?
Risposte
"anais99":
Se qui risolvessi il sistema, la soluzione non sarebbe (-∞, -1) U (1, +∞), ma (-∞, -1] U [1, +∞). Cosa sto sbagliando?
Beh, no … attenta che è $<$ e non $<=$ … d'altronde ti basta sostituirli nella disequazione per vedere che non torna …
Cordialmente, Alex
"axpgn":
[quote="anais99"]Se qui risolvessi il sistema, la soluzione non sarebbe (-∞, -1) U (1, +∞), ma (-∞, -1] U [1, +∞). Cosa sto sbagliando?
Beh, no … attenta che è $<$ e non $<=$ … d'altronde ti basta sostituirli nella disequazione per vedere che non torna …
Cordialmente, Alex[/quote]
Scusami, mi sono accorta ora di aver invertito gli intervalli. In breve, perché in questo caso la condizione di esistenza del radicale è soltanto maggiore di zero e non maggiore o uguale? In tutte le altre disequazioni irrazionali maggiori di zero, calcolando la C.E. del radicale >=0, il risultato mi è sempre venuto corretto. In questo caso ponendo la condizione di esistenza maggiore o uguale a zero il risultato sarebbe con -1 e 1 incluso, quindi errato. Perché? Non riesco a capirlo
Una disequazione irrazionale è equivalente ad uno od all'unione di due sistemi (dipende dai casi).
Nel caso in esame, la disequazione è equivalente al sistema formato dalla condizione di esistenza del radicale, cioè $x^2 - 1 >= 0$, e dalla disequazione in cui entrambi i membri vengono elevati al quadrato, cioè $x^2 - 1 > 0$; quindi:
\[
\sqrt{x^2 - 1} >0 \iff \begin{cases} x^2 - 1 \geq 0 &\text{C.E.}\\ x^2 - 1 >0 &\text{elevando al quadrato}\end{cases} \iff \begin{cases} x\leq -1\ \lor\ x\geq 1\\ x<-1\ \lor\ x>1\end{cases} \iff x<-1\ \lor\ x>1\; .
\]
D'altra parte, per fare meno conti, puoi osservare che la seconda condizione del sistema è più restrittiva della prima, dunque tutte le soluzioni vengono necessariamente da lì.
Nel caso in esame, la disequazione è equivalente al sistema formato dalla condizione di esistenza del radicale, cioè $x^2 - 1 >= 0$, e dalla disequazione in cui entrambi i membri vengono elevati al quadrato, cioè $x^2 - 1 > 0$; quindi:
\[
\sqrt{x^2 - 1} >0 \iff \begin{cases} x^2 - 1 \geq 0 &\text{C.E.}\\ x^2 - 1 >0 &\text{elevando al quadrato}\end{cases} \iff \begin{cases} x\leq -1\ \lor\ x\geq 1\\ x<-1\ \lor\ x>1\end{cases} \iff x<-1\ \lor\ x>1\; .
\]
D'altra parte, per fare meno conti, puoi osservare che la seconda condizione del sistema è più restrittiva della prima, dunque tutte le soluzioni vengono necessariamente da lì.
Ora mi è chiaro! Ti ringrazio
Scusa anais99 ma cosa non ti era chiaro del mio post?
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