Disequazione irrazionale con valore assoluto
Ciao a tutti. Nonostante i numerosi tentativi non riesco a risolvere correttamente una disequazione irrazionale con valore assoluto sotto segno di radice.
$ root()(|x-1|)<2-x $
Per la risoluzione ho improntato il seguente sistemi di disequazioni:
$ { ( |x-1|>=0 ),( 2-x>0 ),( |x-1|<(2-x)^2 ):} $
(La prima è sempre verificata).
Ho risolto l'ultima disequazione attraverso i due sistemi:
$ { ( x-1>=0 ),( x-1
e riportato le soluzioni (unione delle soluzioni dei due sistemi) sul primo in modo da cercare quelle comuni.
Il risultato del libro sarebbe:
$ x<(5-sqrt5)/2 $
Cosa sbaglio? Il procedimento è corretto?
Grazie in anticipo
$ root()(|x-1|)<2-x $
Per la risoluzione ho improntato il seguente sistemi di disequazioni:
$ { ( |x-1|>=0 ),( 2-x>0 ),( |x-1|<(2-x)^2 ):} $
(La prima è sempre verificata).
Ho risolto l'ultima disequazione attraverso i due sistemi:
$ { ( x-1>=0 ),( x-1
e riportato le soluzioni (unione delle soluzioni dei due sistemi) sul primo in modo da cercare quelle comuni.
Il risultato del libro sarebbe:
$ x<(5-sqrt5)/2 $
Cosa sbaglio? Il procedimento è corretto?
Grazie in anticipo
Risposte
Credo che tu debba analizzare due casi:
$x-1>=0$: togli il valore assoluto easy
$x-1<0$: togli il valore assoluto ma cambia il segno, quindi scrivi $1-x$.
$x-1>=0$: togli il valore assoluto easy
$x-1<0$: togli il valore assoluto ma cambia il segno, quindi scrivi $1-x$.
La soluzione di Ian mi sembra giusta, anche se lì per lì una sua frase un po' ermetica mi ha fatto pensare ad un errore. Quale risposta dà il libro?
Anche a me sembra corretto. Vai avanti e completa la risoluzione della disequazione di secondo grado.
$
La frase sarebbe?
Il risultato del libro è: $ x<(5-sqrt5)/2 $
Comunque mi sorge un dubbio. Nel secondo sistema relativo alla risoluzione della disequazione di secondo grado:
${ ( x-1<0 ),( -x+1
che può essere trasformato in:
${ ( x<1 ),( x^2-3x+3>0 ):} $
l' equazione associata della seconda disequazione non presenta soluzioni, in quanto il delta risulta negativo. In quel caso considero solo la prima disequazione del sistema oppure il sistema complessivamente non presenta soluzioni?
"giammaria":
La soluzione di Ian mi sembra giusta, anche se lì per lì una sua frase un po' ermetica mi ha fatto pensare ad un errore. Quale risposta dà il libro?
La frase sarebbe?
Il risultato del libro è: $ x<(5-sqrt5)/2 $
Comunque mi sorge un dubbio. Nel secondo sistema relativo alla risoluzione della disequazione di secondo grado:
${ ( x-1<0 ),( -x+1
che può essere trasformato in:
${ ( x<1 ),( x^2-3x+3>0 ):} $
l' equazione associata della seconda disequazione non presenta soluzioni, in quanto il delta risulta negativo. In quel caso considero solo la prima disequazione del sistema oppure il sistema complessivamente non presenta soluzioni?
"Ian":
l' equazione associata della seconda disequazione non presenta soluzioni, in quanto il delta risulta negativo. In quel caso considero solo la prima disequazione del sistema oppure il sistema complessivamente non presenta soluzioni?
L'equazione associata non presenta soluzioni, quindi la disequazione è sempre falsa o sempre vera; nel tuo caso, sempre vera.
In un sistema vogliamo che entrambe le disequazioni siano vere, quindi ti basta considerare la prima disequazione.
Se invece questa disequazione fosse sempre falsa, non possono essere entrambe vere e quindi il sistema complessivamente non presenta soluzioni.
"giammaria":
[quote="Ian"]l' equazione associata della seconda disequazione non presenta soluzioni, in quanto il delta risulta negativo. In quel caso considero solo la prima disequazione del sistema oppure il sistema complessivamente non presenta soluzioni?
L'equazione associata non presenta soluzioni, quindi la disequazione è sempre falsa o sempre vera; nel tuo caso, sempre vera.
In un sistema vogliamo che entrambe le disequazioni siano vere, quindi ti basta considerare la prima disequazione.
Se invece questa disequazione fosse sempre falsa, non possono essere entrambe vere e quindi il sistema complessivamente non presenta soluzioni.[/quote]
Grazie! Così viene. Però non riesco a capire perché nel mio caso risulta sempre vera.
Per esempio nel seguente sistema:
$ { ( x>=1 ),( -1>0 ):} $
la seconda è sempre falsa, quindi il sistema non presenta soluzioni?
Sì, se la seconda è sempre falsa il sistema non presenta soluzioni.
La regola dice che se l'equazione associata non ha soluzioni reali la disequazione è sempre vera se $a$ è concorde col verso della disequazione e sempre falsa altrimenti. Tu hai
$x^2-3x+3>0$
e quindi c'è concordanza. Puoi anche controllarlo sostituendo ad $x$ un numero qualsiasi: otterrai sempre un primo membro positivo.
La regola dice che se l'equazione associata non ha soluzioni reali la disequazione è sempre vera se $a$ è concorde col verso della disequazione e sempre falsa altrimenti. Tu hai
$x^2-3x+3>0$
e quindi c'è concordanza. Puoi anche controllarlo sostituendo ad $x$ un numero qualsiasi: otterrai sempre un primo membro positivo.
"giammaria":
Sì, se la seconda è sempre falsa il sistema non presenta soluzioni.
La regola dice che se l'equazione associata non ha soluzioni reali la disequazione è sempre vera se $a$ è concorde col verso della disequazione e sempre falsa altrimenti. Tu hai
$x^2-3x+3>0$
e quindi c'è concordanza. Puoi anche controllarlo sostituendo ad $x$ un numero qualsiasi: otterrai sempre un primo membro positivo.
Grazie mille, ora è tutto chiaro.
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