Disequazione irrazionale con due radicali

[Francio991]

Buongiorno, ho un problema con la risoluzione di questa disequazione che ho trovato particolarmente difficile.
$sqrt(x- 1/x)$- $sqrt(1-1/x)$> $(x-1)/x$

Ho cominciato calcolando il C.E imponendo i radicali maggiori di 0. Ho ottenuto come risultato [-1,0[ U [1,infinito[ .
Ho elevato entrambi i membri al quadrato isolando il doppio prodotto e ottenendo dunque
$sqrt((x^2-2x+1)/x)$ < $(x-1)(x^2+1)/(2x^2)$

ovvero $sqrt (A(x))$ < $B(x)$
Adesso ho provato a risolvere il sistema
$\{(A(x) >=0), (B(x)>=0), (A(x) Ma mi son perso nei calcoli risolvendo la terza. Volevo capire se ho fatto qualche errore o se stavo seguendo la strada giusta. Grazie mille a tutti, Francesco.

[Studente Anonimo]

"Francio99":
... imponendo i radicali maggiori di 0 ...

I radicandi, non i radicali. I radicali, quando esistono, sono positivi per convenzione. Ad ogni modo:

$sqrt(x-1/x)-sqrt(1-1/x) gt (x-1)/x rarr$

$rarr sqrt(((x+1)(x-1))/x)-sqrt((x-1)/x) gt (x-1)/x$

Condizione di esistenza del primo radicale

$((x+1)(x-1))/x gt= 0$

Condizione di esistenza del secondo radicale

$(x-1)/x gt= 0$

Condizione di positività del secondo membro

$(x-1)/x gt= 0$

Sistema

$\{(((x+1)(x-1))/x gt= 0),((x-1)/x gt= 0),((x-1)/x gt= 0):} rarr \{(x+1 gt= 0),((x-1)/x gt= 0):} rarr \{(x gt= -1),(x lt 0 vv x gt= 1):} rarr [-1 lt= x lt 0 vv x gt= 1]$

Elevando al quadrato entrambi i membri:

$((x+1)(x-1))/x+(x-1)/x-2sqrt(((x+1)(x-1)^2)/x^2) gt (x-1)^2/x^2 rarr$

$rarr ((x+1)(x-1))/x+(x-1)/x-2|(x-1)/x|sqrt(x+1) gt (x-1)^2/x^2$

Tuttavia, nel campo di esistenza:

$|(x-1)/x|=(x-1)/x$

Quindi:

$((x+1)(x-1))/x+(x-1)/x-2(x-1)/xsqrt(x+1) gt (x-1)^2/x^2 rarr$

$rarr [x+1+1-2sqrt(x+1) gt (x-1)/x] ^^ [x ne 1] rarr$

$rarr [2sqrt(x+1) lt x+2-(x-1)/x] ^^ [x ne 1] rarr$

$rarr [2sqrt(x+1) lt (x^2+x+1)/x] ^^ [x ne 1]$

Condizione di esistenza del primo radicale

$x+1 gt= 0$

Condizione di positività del secondo membro

$(x^2+x+1)/x gt= 0$

Sistema

$\{(x+1 gt= 0),((x^2+x+1)/x gt= 0):} rarr \{(x+1 gt= 0),(x gt 0):} rarr \{(x gt= -1),(x gt 0):} rarr [x gt 0]$

Elevando ancora al quadrato entrambi i membri:

$[4x^3+4x^2 lt (x^2+x+1)^2] ^^ [x ne 1] rarr$

$rarr [(x^2+x+1)^2-4x^3-4x^2 gt 0] ^^ [x ne 1] rarr$

$rarr [(-x^2+x+1)^2 gt 0] ^^ [x ne 1] rarr$

$rarr [x^2-x-1 ne 0] ^^ [x ne 1] rarr$

$rarr [x ne (1+-sqrt5)/2] ^^ [x ne 1]$

In definitiva:

$\{(-1 lt= x lt 0 vv x gt= 1),(x gt 0),(x ne (1+-sqrt5)/2 ^^ x ne 1):} rarr [x gt 1] ^^ [x ne (1+sqrt5)/2]$

[Francio991]

Chiaro, grazie mille

[axpgn]

"anonymous_0b37e9": I radicali, quando esistono, sono positivi per convenzione.

Quelli di indice pari, quelli di indice dispari ... dipende